Задача про два конверти

Задача про два конверти (Парадокс двох конвертів) — відомий парадокс, що демонструє як особливості суб'єктивного сприйняття теорії ймовірності, так і межі її використання. У вигляді двох конвертів цей парадокс з'явився в кінці 1980-х років, хоча різноманітні формулювання відомі математиці з першої половини ХХ століття.

Формулювання

Є два однакові конверти з грошима. В одному знаходиться сума в двічі більша, ніж в іншому. Величина цієї суми невідома. Конверти дають двом гравцям. Кожен з них може відкрити свій конверт і перерахувати гроші. Після цього гравці мають вирішити: чи варто обміняти свій конверт на чужий? Обидва гравця міркують таким чином. Я бачу в своєму конверті суму $X$. В чужому конверті може знаходитись $2X$ або ${\frac {X}{2}}$. Тому якщо я обміняю конверт, то в мене в середньому буде $\left(2X+{\frac {X}{2}}\right)/2={\frac {5}{4}}X$, тобто більше ніж зараз. Отже, обмін — вигідний. Однак, обмін не може бути вигідним для обох гравців. Де в їх міркуваннях знаходиться помилка?

Історія

В 1953 році бельгійський математик Моріс Крайчик запропонував схожу задачу на прикладі двох краваток.

"Кожен з двох людей стверджує, що його краватка гарніша. Щоб розв'язати цю суперечку, вони звертаються до третьої людини — судді. Переможець має подарувати переможеному свою краватку, для втіхи. Обоє міркують наступним чином: "Я знаю скільки коштує моя краватка. Я можу програти її, але можу й виграти більш гарну, тому в цій суперечці перевага на моїй стороні". Як в одній грі перевага може бути на боці кожного з гравців?"

Крайчик стверджує, що симетрія в грі є, але припускає неправомірність використання ймовірності 1/2 при обчисленні середнього доходу:

"З точки зору обох гравців суперечки, гра симетрична і кожен має однакову ймовірність виграти. Однак, ймовірність не є об'єктивним фактом і залежить від знання умови задачі. В даному випадку розумно не намагатись оцінювати ймовірність."

Задача стала популярною завдяки Мартіну Гарднеру, який описав її в 1982 році під назвою "Чий гаманець товщий?". Гарднер погоджувався з Крайчиком в тому, що гра "чесна" (симетрична), і в тому, що гра не може бути одночасно вигідна обом сторонам, а також в тому, що міркування гравців здається сумнівним:

"Чи може одна і та ж гра бути "вигіднішою" для кожного з двох партнерів? Ясно, що не може. Чи не виникає парадокс через те, що кожен гравець помилково вважає, начебто його шанси на перемогу та поразку однакові?"

Однак, Гарднер відмічає також, що докладного математичного розбору задачі Крайчиком зроблено не було:

"На жаль, це не говорить нам нічого про те, де саме в міркуваннях двох гравців ховається помилка. Як би ми не старались, нам так і не вдалося знайти просте і задовільне розв'язання парадокса Крайчика."

В подальшому задача приймала назву "парадокс двох скриньок", "парадокс двох кишень", "парадокс обміну" і т. д.

Новий інтерес до парадоксу виник після публікації Баррі Нейлбуфом статті з переліком ряду парадоксів теорії ймовірності в журналі Journal of Economic Perspectives. Після отримання безлічі відгуків на цю публікацію, він підготував іншу статтю "Чужий конверт — завжди зеленіший" («The Other Person’s Envelope is Always Greener»), що була присвячена безпосередньо задачі конвертів. В запропонованому ним формулюванні є два конверти:

"В один конверт поміщається деяка сума грошей, невідома для інших, і цей конверт віддається Алі. Потім таємно підкидається монета. Якщо випадає орел, в другий конверт вкладається сума вдвічі більша, ніж у першому. В протилежному випадку в другий конверт вкладають суму вдвічі меншу. Цей конверт віддають Бабі. Алі і Баба можуть відкрити свої конверти, не говорячи одне одному суми, які вони там бачать. Після цього вони можуть (за спільною згодою) обмінятись конвертами.

Припустимо, що Алі бачить в своєму конверті 10 $. Алі припускає, що в конверті у Баби з однаковою ймовірністю можуть бути 5$ або 20$. В цьому випадку обмін конвертами приносить Алі 2,5 $ (або 25 %). Аналогічно Баба вважає, що в конверті у Алі ймовірно знаходиться сума в 2 рази більша, або менша, ніж $x$, що знаходиться в нього. Тому при обміні конвертами, він отримує $(-0{,}5x+x)/2=0{,}25x$.

Таким чином, Баба також очікує отримати в середньому 25 % доходу, у порівнянні з сумою в своєму конверті. Однак, це є парадоксальним. Обмін конвертами не може бути вигідним обом учасникам. Де помилка в їх міркуваннях?"

Модифікація Нейлбуфа умови задачі і запропоновані ним розв'язання дозволили пояснити багато чого по суті парадоксу. Однак, підкидання монетки після наповнення першого конверту помітно змінювало початкову симетрію капіталів гравців. При розв'язанні акцент зміщувався на доказ нерівноцінності початкових умов у відношенні до Баби в порівнянні з Алі. Тому в результаті подальшої еволюції з умови задачи щезла монетка, за допомогою якої у Нейлбуфа визначався вміст другого конверту.

На сьогоднішній день найбільш широко відома і викликає найбільший інтерес у математиків ідеально симетрична постановка із конвертами, що зовні не відрізняються, мають меншу і вдвічі більшу суму, причому один з конвертів можна відкрити раніше, ніж почати міркування про вигідність обміну.

Розв'язання парадоксу

Помилка полягає в тому, що при розрахунку визначається середнє число, а це не коректно, оскільки середнє можна рахувати, маючи на руках обидва конверти, а не один з них.

З точки зору Нейлбуфа перше задовільне пояснення його задачі подане Санді Забеллом в статті "Збитки та доходи: парадокс обміну". Дещо переформулювавши, Нейлбуф пише:

"Баба вважає, що сума, яку він бачить, не має значення, в силу того, що в його конверті більша сума. Це означає, що Баба думає, що ймовірність того, що сума в його конверті більша, є 1/2 незалежно від побаченої суми. Це вірно лише тоді, коли кожне значення від 0 до нескінченності рівноймовірне, шанс кожного значення має нульову ймовірність. Тоді у кожного результату нульовий шанс. А це — нонсенс."

Формальна аргументація

Позначимо через $f(x)$ ймовірність того, що в конверті Алі знаходиться сума x. Коли Баба спостерігає в своєму конверті суму X, умовна ймовірність того, що Алі в своєму конверті має 2X, рівна : $P(A=2X|B=X)={\frac {f(2X)}{f(X/2)+f(2X)}}.$. У формулюванні задачі Баба вважає, що ця ймовірність рівна 1/2 незалежно від того, яку суму X він бачить в своєму конверті. Тому $f(X/2)=f(2X)$ для всіх $X>0$.

Це означає, що $f(x)$ стала на інтервалі від 0 до нескінченності. Однак, такої ймовірності, рівномірної на всій дійсній півосі, бути не може. Якщо ймовірність додатня і стала всюди, то сума ймовірностей дорівнює нескінченності, що неможливо. Отже, початкове припущення парадоксу (рівноймовірність $2X$ та ${\frac {X}{2}}$) не реалізується.

Все набагато простіше. Проблема витікає з того, що ми трактуємо, як відоме, а що ні.

У формулюванні з конвертами, у яких ВЖЕ є гроші, ми знаємо, що в одному конверті сума $x$, а в іншому $2x$. Тримаючі у руках конверт, кожен гравець знає, що в цьму конверті одна з ціх сум з вірогідністю $p_{1}=p_{2}=0.5$. Відповідно мат-очикування зміни конверту: $M=p_{1}(x-2x)+p_{2}(2x-x)=0$ для обох гравців. Протирічча нема.

У формулюванні з підкиданням монетки в першому конверті сума $2x$. В другому конверті з вірогідністю $p_{1}=p_{4}=0.5$ суми $x$ або $4x$. Мат-очикування гравців:

$M_{1}=p_{1}(x-2x)+p_{4}(4x-2x)=0.5x$

$M_{2}=p_{1}(2x-x)+p_{4}(2x-4x)=-0.5x$

І тут також жодного протирічча нема.

Посилання

• The Two Envelope Problem

Див. також

• Умовна ймовірність
• Парадокс Монті Холла
• Парадокс Паррондо