Парадокс сплячої красуні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Парадокс сплячої красуні — парадокс теорії імовірностей. Парадокс являє собою імовірнісну задачу, що має декілька різноманітних, по-своєму правильних відповідей, і демонструє, як можна маніпулювати статистикою. Автором парадоксу вважається Адам Ільґа[1]. 1999-го року задача викликала флейм в Usenet[2].

Формулювання[ред.ред. код]

Піддосліднійній («Сплячій красуні») робиться укол снодійного. Підкидається симетрична монета. У випадку випадіння орла: її будять, і експеримент на цьому закінчується. У випадку випадіння решки: її будять, роблять ще один укол (після чого вона забуває про те, що її будили) і будять наступного дня, не підкидаючи монети (в такому разі експеримент йде 2 дні підряд). Вся ця процедура відома Красуні, але в неї немає інформації, в який день її розбудили.

Уявіть себе на місці Сплячої красуні. Вас розбудили. Яка ймовірність того, що монета впала рішкою​​?

Розв'язання 1. У нас немає ніякої інформації про результати випадіння монети і про попередні пробудженя. Оскільки відомо, що монета - чесна, можна припустити, що ймовірність решки 1/2.

Розв'язання 2. Проведемо эксперимент 1000 разів. Сплячу красуню будять всередньому 500 разів з орлом і 1000 раз з решкою (оскільки у випадку решки сплячу красуню запитують 2 рази). Тому імовірність решки 2/3.

Розв'язок[ред.ред. код]

1/2 — це ймовірність решки при всій відомій Красуні інформації. Ймовірнісний простір тут такий: 1-й день, орел — ½; 1-й день, решка — ¼; 2-й день, решка — ¼. А 2/3 в такому випадку - це дійсна частка пробуджень з решкою з урахуванням того, що кожна решка дає два пробудження, а кожен орел — одне.

Подобні зважені проценти часто зустрічаються у житті. Наприклад, в країнах СНД понад 40% проїздів у державному транспорті здійснюється пенсіонерами. Чи насправді 40% населення на пенсії? Звичайно ж ні. Через безкоштовний проїзд, більшої кількості вільного часу і слабкого здоров'я пенсіонери — набагато більш активні пасажири, ніж всі інші. Кількість пенсіонерів серед пасажирів оцінюється в 20% або навіть менше.

Іншими словами, якщо реєструвати кожен проїзд, видаляючи всі попередні проїзди пасажира, якщо такі є (як стирають пам'ять Сплячій красуні), виходить 20% пенсіонерів. Якщо нічого не видаляти — 40%. Яке з цих двох чисел правильне — залежить від застосування. Фахівцям з реклами потрібна цифра 20%: «який відсоток з тих, що побачили оголошення - пенсіонери». Транспортникам важливіше 40% - «який відсоток пасажиропотоку їздить безкоштовно»?

Інші форми парадоксу[ред.ред. код]

Парадокс неуважного водія[ред.ред. код]

Неуважний професор, що засидівшись на кафедрі до пізньої ночі, сідає в машину і повертається додому. Правильний шлях - повернути направо на другому перехресті (штраф 0). Якщо пропустити друге перехрестя, через 20 кілометрів буде мотель, в якому можна буде переночувати (штраф 3). Проблема в тому, що через неуважність і втому професор не пам'ятає, проїхав він перше перхрестя чи ні, а у світлі фар перехрестя не відрізняються.

Стратегія "як тільки побачиш перехрестя , повернути направо", звичайно ж була відкинута - отримуєш штраф 4. Куда корисніша стратегія "пропустити обидва перехрестя", зі штрафом 3.

Отже, професор вирішує скористатись другою стратегією. Під'їжджає до перехрестя, і у нього виникає думка: «Вірогідність ½, що я на першому перехресті, і ½ - що на другому. Тоді середній штраф першої стратегії ½ · 4 + ½ · 0 = 2 - краще, ніж їхати в мотель ». Парадокс? Парадокс у тому, що перша і третя стратегії - різні. Третя - «в 50% випадків пропустити перше перехрестя і повернути на другому, в 50% - повернути на першому».

Спляча красуня 2[ред.ред. код]

Уявімо собі, що зі Сплячою красунею багато разів проводять даний експеримент (без стирання пам'яті). Поряд з її ліжком стоїть прозора скринька, в якій вона бачить монету, але не може її чіпати. Через деякий час вона зауважує, що решка завжди йде парами: якщо сьогодні випала решка, то завтра буде решка, а післязавтра - орел чи решка з імовірністю ½.

Одного разу експериментатор приходить зі стираючим короткочасну пам'ять уколом (довготривалі спостереження залишилися). Вважаємо, що день обирається навмання незалежно від результатів випадіння монети. Красуня прокидається - яка ймовірність решки?

Відповідь 1: 5/8. Ймовірнісний простір такий:

  • орел — решка - 1/4
  • орел — орел - 1/4
  • решка — пам'ять стерта в перший день — 1/4
  • решка — пам'ять стерта на другий день — орел — 1/8
  • решка — пам'ять стерта на другий день — решка — 1/8

Відповідь 2: 2/3 (так як 2/3 днів Красуня прокидалась з решкою і 1/3 — з орлом). Тут немає ніякої неоднозначності, правильна відповідь 2. У відповіді 1 неявно малося на увазі, що ймовірності стирання пам'яті з орлом і з решкою ​​однакові, що невірно.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]