Санкт-петербурзький парадокс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Санкт-Петербурзький парадокс — математична задача, що ілюструє розбіжність математичного очікування виграшу з його «здоровою» оцінкою гравців.

Формулювання парадоксу[ред.ред. код]

Нехай казино проводить таку гру: вступаючи в гру, гравець платить деяку суму, а потім підкидає монету (імовірність кожного результату— 50%), поки не випаде орел. При випаданні орла гра закінчується, а гравець отримує виграш, розрахований за наступними правилами: якщо орел випав при першому підкиданні, гравець отримує 20, при другому підкиданні — 21 і так далі: при n-ному підкиданні — 2n-1. Іншими словами, виграш зростає від підкидання до підкидання вдвічі, пробігаючи по ступенях двійки — 1, 2, 4, 8, 16, 32 і так далі.

Задача: Який вступний внесок повинно взяти казино з гравця, щоб не залишитися в програші?

Відповідь: Нескінченно великий.

Математичне сподівання суми, яку повинно виплатити казино:

 \langle S \rangle = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \ldots + \frac{2^{n-1}}{2^n} + \ldots = \infty

Історія виникнення[ред.ред. код]

Парадокс був вперше опублікований Даніелем Бернулі у 1738 році в «Коментарях Санкт-Петербурзької Академії»[1]. Раніше ситуація була описана племінником Данила, Миколою Бернуллі, в його листуванні з французьким математиком П'єром Монмором (Pierre Rémond de Montmort).

Примітки[ред.ред. код]