Ланцюговий дріб

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ланцюговий дріб (або неперервний дріб) — це математичний вираз виду

[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots] = a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ldots}}}\;

де a0 є ціле число, а всі інші an є натуральними числами. Узагальненими ланцюговими дробами називають вирази виду:

a_0+\cfrac{b_1}{a_1+\cfrac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\dots}}}

Будь-яке дійсне число може бути представлене ланцюговим дробом. Число представляється скінченним ланцюговим дробом тоді й лише тоді , коли воно раціональне.

Розклад в ланцюговий дріб[ред.ред. код]

Будь-яке дійсне число x може бути представлене ланцюговим дробом [a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots], де

a_0 = \lfloor x \rfloor, x_0 = x - a_0,
a_1 = \left\lfloor \frac{1}{x_0} \right\rfloor, x_1 = \frac{1}{x_0} - a_1,
\dots
a_n = \left\lfloor \frac{1}{x_{n-1}} \right\rfloor, x_n = \frac{1}{x_{n-1}} - a_n,
\dots

де \lfloor x \rfloor позначає цілу частину числа x.

Для раціонального числа x цей розклад завершиться після одержання нульового x_n для деякого n. В цьому випадку x представляється скінченним ланцюговим дробом x = [a_0; a_1, \cdots, a_n].

Для ірраціонального x всі величини x_n будуть ненульовими и процес розкладу можна продовжувати нескінченно.

Приклад обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245 подано в таблиці.

Обчислення ланцюгового дробу для числа 3,245
3\, 3.245\ \left(3 \tfrac{49}{200}\right) - 3\, = 0.245\ \left(\tfrac{49}{200}\right)\, 1 / 0.245\ \left(\tfrac{200}{49}\right)\, = 4.082\ \left(4 \tfrac{4}{49}\right)\,
4\, 4.082\ \left(4 \tfrac{4}{49}\right)- 4\, = 0.082\ \left(\tfrac{4}{49}\right)\, 1 / 0.082\ \left(\tfrac{49}{4}\right)\, = 12.250\ \left(12 \tfrac{1}{4}\right)\,
12\, 12.250\ \left(12 \tfrac{1}{4}\right)- 12\, = 0.250\ \left(\tfrac{1}{4}\right)\, 1 / 0.250\ \left(\tfrac{4}{1}\right)\, = 4.000\,
4\, 4.000 - 4\, = 0.000\, STOP
ланцюговий дріб для числа 3,245 рівний [3; 4, 12, 4]
 3.245 = 3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{12 + \cfrac{1}{4}}}

Приклади розкладу[ред.ред. код]

  • 
\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots]

якщо проте використовувати узагальнені ланцюгові дроби то отримаємо певні закономірності: 
\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\cfrac{11^2}{6+\cfrac{13^2}{6+\cfrac{15^2}{6+\ddots}}}}}}}}
\ =\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\cfrac{5^2}{11+\cfrac{6^2}{13+\cfrac{7^2}{15+\ddots}}}}}}}}


  • e = \exp(1) = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, \dots] \,\!.

Якщоn ціле число більше одиниці,

  • \exp(1/n) = [1; n-1, 1, 1, 3n-1, 1, 1, 5n-1, 1, 1, 7n-1, 1, 1, \dots] \,\!.

Якщо також n парне:

  •  \exp(2/n) = [1; (n-1)/2, 6n, (5n-1)/2, 1, 1, \dots, 3nk+(n-1)/2, 6n(2k+1), 3nk+(5n-1)/2, 1, 1, \dots ] \,\!

при n = 1:

  • e^2 = \exp(2) = [7; 2, 1, 1, 3, 18, 5, 1, 1, 6, 30, 8, 1, 1, 9, 42, 11, 1, 1, \dots, 3k, 12k+6, 3k+2, 1, 1, \dots] \,\!.


  • \tanh(1/n) = [0; n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n, 15n, 17n, 19n, \dots] \,\!

якщо n додатнє число; також

  • \tan(1) = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, \dots]\,\!

якщо n > 1,

  • \tan(1/n) = [0; n-1, 1, 3n-2, 1, 5n-2, 1, 7n-2, 1, \dots]\,\!.


Властивості[ред.ред. код]

  • Будь-яке раціональне число може бути представлене в виді скінченного ланцюгового дробу двома способами, більш довгий з яких завжди закінчується одиницею, а коротший відрізняється від нього тим, що останньої одиниці немає, а елемент перед одиницею на 1 більший. Наприклад:
 9/4=[2; 3, 1] = [2; 4]\;
  • Теорема Лагранжа: Число можна подати у вигляді нескінченного періодичного лінійного дробу тоді й лише тоді коли воно є ірраціональним розв'зком квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами.
Наприклад:
\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, 2, \dots]
золотий поділ \phi = [1;1,1,1,\dots]
  • Для інших — не квадратичних — алгебраїчних чисел характер розкладу не відомий.
  • Для майже всіх дійсних чисел x середнє геометричне коефіцієнтів розкладу числа в ланцюговий дріб рівний константі Хітчіна (K ≈ 2.6854520010...)

n-им наближеним дробом для ланцюгового дробу x=[a_0; a_1, a_2, a_3,\cdots], називається скінченний ланцюговий дріб [a_0; a_1, \cdots, a_n], значення якого можна подати \frac{p_n}{q_n}.

p_{-1} = 1,\quad p_0 = a_0,\quad p_n = a_n p_{n-1} + p_{n-2};
q_{-1} = 0,\quad q_0 = 1,\quad q_n = a_n q_{n-1} + q_{n-2}.
  • p_n q_{n-1} - q_n p_{n-1} = (-1)^{n-1},
    \left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| < \frac{1}{q_n^2}.

Звідси випливає наступне твердження:

  • наближений дріб \frac{p_n}{q_n} є найкращим наближенням для x серед всіх дробів, знаменник яких не перевищує q_n;

Застосування[ред.ред. код]

  • при розробці сонячного календаря необхідно знайти раціональне наближення для числа 365,2421988… За допомогою ланцюгових дробів одержується послідовність:
\frac{1}{4}; \frac{7}{29}; \frac{8}{33}; \frac{31}{128}; \frac{132}{545} \cdots

Перший з цих дробів є основою юліанського календаря.

Література[ред.ред. код]