Золотий перетин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

φ = (a+b) : a = a : b

У математиці та мистецтві дві величини утворюють золоти́й пере́тин (лат. Sectio aurea, англ. Golden ratio), якщо співвідношення їх суми і більшої величини дорівнює співвідношенню більшої і меншої. Це відношення прийнято позначати грецькою буквою $\varphi\,$ .

Золотий перетин вважається співвідношенням найвідповіднішим естетичному сприйняттю зображення, вперше запропоноване давньогрецьким математиком Евклідом. Вживається в мистецтві й архітектурі, найчастіше як золотий прямокутник. Золотий прямокутник утворюється при поділі відрізку АВ в такій точці О, що площа прямокутника, одною стороною якого є весь відрізок, а іншою - менший з відрізків, дорівнює площі квадрата з більшим відрізком як стороною (|АВ| * |OB| = |АO|²).

$\varphi = \frac{AO + OB}{AO} = \frac{AO}{OB}$

Це рівняння має єдиний додатній розв'язок

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803398874989484\dots$

Відношення двох відрізків приблизно дорівнює 13:8.

Число $\varphi\,$ деколи називають золотим числом.

[ред.] Наближення

Наближення Золотого перетину з точністю 150 знаків після десяткової коми:

1.61803 39887 49894 84820 45868
  34365 63811 77203 09179 80576
  28621 35448 62270 52604 62818
  90244 97072 07204 18939 11374
  84754 08807 53868 91752 12663
  38622 23536 93179 31800 60766

[ред.] Історія

[ред.] Математичні властивості

[ред.] Обчислення значення золотого перетину

Золотий перетин $\varphi$ можна обчислити безпосередньо з означення:

$\frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi\,.$

Праве рівняння дає $a=b\varphi\,$ . Підставляючи цю рівність у ліву частину:

$\frac{b\varphi+b}{b\varphi}=\frac{b\varphi}{b}\,.$

Скоротивши $b\,$ отримаємо:

$\frac{\varphi+1}{\varphi}=\varphi.$

Помноживши обидві частини на $\varphi\,$ після перестановки отримаємо:

$\varphi^2 - \varphi - 1 = 0.$

Це квадратне рівняння має два розв'язки, один з яких є додатнім

$\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\dots\,$

[ред.] Зв'язок числами Фібоначчі

Спіраль Фібоначчі

Золотий перетин є границею відношення двох сусідніх членів у послідовності Фібоначчі:

$\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi.$

При цьому члени послідовності $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ збігаються до $\varphi\,$ поперемінно — один елемент знизу, наступний згори і т.д. Наприклад

$\frac{F_6}{F_5}=\frac{8}{5}=1,6<\varphi<\frac{F_7}{F_6}=\frac{13}{8}=1,625$

Формула Біне виражає за допомогою $\varphi\,$ значення числа Фібоначчі $F_n\,$ в явному вигляді:

$F_n = \frac{\varphi^n - (-\varphi )^{-n}}{\varphi - (-\varphi )^{-1}} = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}}\approx\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\quad (n\geq 1).$

Окрім цього, послідовні степені числа $\varphi\,$ задовільняють рекурентному співвідношенню ідентичному до чисел Фібоначчі:

$\varphi^{n+2} = \varphi^{n+1} + \varphi^n.\,$

Спіраль Фібоначчі (див. рисунок) є наближенням золотої спіралі.

[ред.] Золотий перетин у пентаграмі

Червоний : Зелений =
Зелений : Синій =
Синій : Фіолетовий = $\varphi\,$

Золотий перетин виступає у правильному пентаграмі, який вважався магічним символом у багатьох культурах. Точка перетину сторін ділить їх у золотій пропорції. Більша частина сторони також ділиться у золотій пропорції іншою точкою перетину.

Пентаграм містить п'ять гострокутних та п'ять тупокутних золотих трикутників. У кожному з них співвідношення довжини довшої та коротшої сторони утворює золотий перетин.

[ред.] Примітки

[ред.] Посилання

Про красу користі і користь краси (Дзеркало тижня)
Золотий перетин на www.photobattle.com.ua
К.В. Киркач, Золотий перетин у дизайні освітлювальних установок (Світло-люкс)
А. Д. Бердукидзе, Золотое сечение Квант №8, 1973 (рос.)

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Золотий перетин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Наближення

[ред.] Історія

[ред.] Математичні властивості

[ред.] Обчислення значення золотого перетину

[ред.] Зв'язок числами Фібоначчі

[ред.] Золотий перетин у пентаграмі

[ред.] Примітки

[ред.] Посилання

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами