Простір неперервних функцій

Про́стір непере́рвних фу́нкцій — лінійний нормований простір, елементами якого є неперервні на відрізку $[a,b]$ функції (зазвичай позначають ${\mathrm {C} }[a,b]$, іноді $C^{0}[a,b]$ або $C^{(0)}[a,b]$ або $C(a,b)$) . Норма в цьому просторі визначається так:

$||x||_{{\mathbf {C} }[a,b]}=\max _{t\in [a,b]}|x(t)|$

Цю норму також називають нормою Чебишова або рівномірною нормою, оскільки збіжність за цією нормою еквівалентна рівномірній збіжності.

Властивості

• Якщо послідовність $x_{n}$ елементів з ${\mathrm {C} }[a,b]$ збігається в цьому просторі до деякої граничної функції $x(t)$, то $x_{n}\rightrightarrows x$ при $n\to \infty$.
  • Звідси: ${\mathrm {C} }[a,b]$ — банахів простір.
• Простір неперервних функцій сепарабельний: зліченну всюди щільну множину в ньому утворює множина всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами. Це твердження виходить як наслідок апроксимаційної теореми Веєрштрасса.
• В ${\mathrm {C} }[a,b]$ не виконується тотожність паралелограма, тому норма в ньому не породжує ніякого скалярний добуток.

Варіації та узагальнення

Аналогічно цей простір будується також і над областями та їх замиканнями. У разі некомпактної множини максимум треба замінити точною верхньою гранню.

Отже, простором неперервних обмежених функцій (вектор-функцій) $C(X,Y)$ називають множину всіх неперервних обмежених функцій $x:X\to Y$ зі введеною на ній нормою:

$\|x\|_{C(X,Y)}=\sup _{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.$

Поряд з чебишовською нормою часто розглядають простір неперервних функцій з інтегральною нормою:

$\|x\|=\int \limits _{a}^{b}|x(t)|\,dt$

У сенсі цієї норми простір неперервних на відрізку функцій вже не утворює повного лінійного простору. Фундаментальною, але не збіжною в ньому є, наприклад, послідовність $x_{n}$

$x_{n}(t)={\begin{cases}1,\quad t\geqslant {\frac {1}{n}}\\nt,\quad t\in (-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}})\\-1,\quad t\leqslant -{\frac {1}{n}}\end{cases}}$

Його поповненням є $L_{1}[a,b]$ — простір сумованих функцій.

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М. : Наука, 2004.
• Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. — М. : Наука, 1965.
• M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London : Academic Press, 1973.
• Иосида К.. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1967.