Формула Ридберґа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Формула Ридберґа у вигляді, як вона була записана у листопаді 1888 року

Фо́рмула Ридберґа — емпірична формула, яка описує довжини хвиль у спектрах випромінювання атомів хімічних елементів. Запропонована шведським вченим Йоганнесом Ридберґом і опублікована 5 листопада 1888 року.

Формула Ридберґа для водневоподібних елементів має наступний вигляд:

\frac{1}{\lambda} = RZ^2 \left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)

де

\lambda\! — довжина хвилі світла у вакуумі;
R\! — стала Ридберґа для хімічного елемента, що розглядається;
Z\! — атомний номер, або число протонів у ядрі атома даного елемента;
n_1\! и n_2\! — цілі числа, так що n_1 < n_2\!.

Історія[ред.ред. код]

В 1880-х роках, Ридберґ працював над формулою, що описувала б взаємозв'язок між довжинами хвиль у спектрах лужних металів. Він помітив, що лінії утворюють серії і, що можна зменшити трудомісткість розрахунків, використовуючи хвильове число (величина, що обернена до довжини хвилі: 1/λ) як одиницю вимірювання. Він записав хвильові числа (n) розташованих одна за одною ліній в кожній серії навпроти розташованих паралельно у відповідному порядку цілих чисел, що являють собою порядок лінії в даній конкретній серії. Виявивши, що отримані криві мали схожі форми, він знайшов єдину функцію, яка описує всі ці криві, при підставці в неї відповідних констант.

Спочатку він перевірив формулу: \scriptstyle n=n_0 - \frac{C_0}{m+m'}, де n — це хвильове число лінії, n0 — границя серії, m — порядковий номер лінії в серії (константа, що є різною для різних серії) і C0 — універсальна константа. Ця формула не завжди давала задовільні результати.

Ридберґ перевірив: \scriptstyle n=n_0 - \frac{C_0}{(m+m')^2}, коли йому стала відомою серія Бальмера для спектру атома водню \scriptstyle \lambda={hm^2 \over m^2-4}. У цій формулі, m — ціле, і h — константа.

Ридберґ, однак, переписав формулу Бальмера, використовуючи позначення хвильових чисел, у наступному вигляді \scriptstyle n=n_0 - {4n_0 \over m^2}.

Це навело на думку, що формула Бальмера для водню може бути частковим випадком при \scriptstyle m'=0\! и \scriptstyle C_0=4n_0\!, де \scriptstyle n_0=\frac{1}{h}, величина, обернена до константи Бальмера.

Величина Co, як виявилось, була універсальною константою, спільною для усіх елементів, рівною 4/h. Ця константа відома як стала Ридберґа, і m, відома як квантовий дефект.

Як підкреслив Нільс Бор[1], вираження результатів через хвильові числа, а не через довжини хвиль, було ключем до відкриття Рідберга. Фундаментальна роль хвильових чисел була особливо підкреслена відкриттям комбінаційного принципу Ридберґа — Рітца у 1908 році. Фундаментальна причина цього лежить в області квантової механіки.

Хвильові числа світлових хвиль є пропорційними до частоти \scriptstyle \frac{1}{\lambda}=\frac{f}{c}, і тому також є пропорційними до енергії квантів світла E. Тобто, \scriptstyle \frac{1}{\lambda}=\frac{E}{hc}. Графіки Ридберґа були спрощеними (мали невисокий ступінь адекватності реальним залежностям), так як відбивали лише найпростіші закономірності у поведінці спектральних ліній в умовах строго визначених (квантованих) різниць енергій між електронними орбіталями в атомі.

Класичний вираз Ридберґа (від 1888 року) для форми спектральних серій не супроводжувався фізичним поясненням. Доквантове пояснення В. Рітца (1908 рік) механізму «утворення» спектральних серій полягало у тому, що електрони в атомі ведуть себе як магніти, що можуть коливатись відносно атомного ядра, генеруючи електромагнітне випромінювання.[2]. Цей феномен уперше зрозумів Нільс Бор у 1913 році і увів його у свою модель атома.

У теорії атома водню за Бором цілі числа Ридберґа (і Бальмера) n відповідають електронним орбіталям для різних строго визначених відстанях від атома. Частота (або спектральна енергія), отримана при переході з рівня n1 на n2, є енергією фотона, що випромінюється чи поглинається, при переході електрона з орбіталі 1 на орбіталь 2.

Формула Ридберґа для водню[ред.ред. код]

Енергетичні рівні у спектрі атома водню
\frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)

де

\lambda \! — довжина хвилі електромагнітного випромінювання у вакуумі;
R_\infty \! — стала Ридберґа;
n_1\! и n_2\! — цілі числа, такі, що n_1 < n_2\!.

Взявши n_1 рівним 1, і вважаючи, що n_2 може набувати цілих значень від 2 до нескінченності, отримуємо спектральні лінії, відомі як серія Лаймана, нижня границя довжин хвиль яких прямує до 91 нм. Аналогічно можна отримати інші серії:

n1 n2 Назва серії Нижня границя серії
1 2 → ∞ Серія Лаймана 91.13 нм (Ультрафіолетова частина спектру)
2 3 → ∞ Серія Бальмера 364.51 нм (Видима частина спектру)
3 4 → ∞ Серія Пашена  820.14 нм (Інфрачервона частина спектру)
4 5 → ∞ Серія Бреккета 1458.03 нм (Інфрачервона частина спектру)
5 6 → ∞ Серія Пфунда 2278.17 нм (Інфрачервона частина спектру)
6 7 → ∞ Серія Хемпфрі 3280.56 нм (Інфрачервона частина спектру)

Формула Ридберґа для довільних водневоподібних атомів[ред.ред. код]

Формула для атома водню, що наведена вище, може бути доповнена для застосування до довільних водневоподібних атомів:

\frac{1}{\lambda_{\mathrm{vac}}} = RZ^2 \left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)

де

\lambda_{\mathrm{vac}}\! — довжина хвилі світла, що випромінюється у вакуум;
R\! — стала Ридберґа для даного хімічного елемента;
Z\! — порядковий номер елемента в періодичній системі хімічних елементів, тобто, число протонів в атомному ядрі даного хімічного елемента;
n_1\! и n_2\! — цілі числа, такі, що n_1 < n_2\!.

Важливо зазначити, що ця формула може бути застосована лише для водневоподібних атомів, тобто для таких атомів, які містять в електронній оболонці лише один електрон. До таких атомів відносяться, наприклад, He+, Li2+, Be3+ тощо.

Формула Ридберґа дозволяє отримати коректні значення довжин хвиль для віддалених електронів, коли ефективний заряд ядра можна вважати таким же як і у водню, коли всі, окрім одного, заряди в ядрі є екранованими іншими електронами, і центр атома має ефективний позитивний заряд, що дорівнює +1. При певній зміні (заміні Z на Z−1, і використання цілих чисел 1 та 2 для n, що дають чисельне значення 34 для різниці їх обернених квадратів (у формулі, що наведена вище)), формула Ридберґа дає коректні результати у спеціальному випадку K-альфа ліній. Подібні переходи є K-альфа переходом електрона з орбіталі 1s на орбіталь 2p. Це є аналогією переходу ліній Лайман-альфа для водню, і має цей же частотний фактор. Оскільки 2p-електрон не є екранованим від ядра в атомі іншими електронами, то заряд ядра є послабленим єдиним, що залишився 1s-електроном, змушуючи атом бути фактично водневоподібним атомом, але із ослабленим зарядом Z−1. Його частота, таким чином, є частотою Лайман-альфа водню, зростаючи, завдяки величині (Z−1)2. Ця формула f = c/λ = (Лайман-альфа частота)⋅(Z−1)2 історично відома як закон Мозлі (при використанні величини c для заміни у формулі довжини хвилі на частоту), і може бути використана для прогнозування довжин хвиль Kα (K-альфа) рентгенівських променів у спектрах випромінювання хімічних елементів від алюмінію до золота. Історична важливість цього закону можна, оцінити після ознайомлення з біографією Генрі Мозлі. Його закон отримано емпірично приблизно у той же період часу, коли було створено модель атома Бора.

Для інших спектральних переходів у багатоелектронних атомах, формула Ридберґа дає некоректні результати, оскільки величина екранування внутрішніх електронів для переходів зовнішніх електронів варіюється, і неможливо зробити у формулі аналогічну просту величину поправки «компенсування» «ослаблення дії заряду ядра», як вказано вище.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Bohr, N. (1985). «Rydberg's discovery of the spectral laws». У Kalckar, J. Collected works 10. Amsterdam: North-Holland Publ. Cy. с. 373–379. 
  2. Ritz W. нім. Magnetische Atomfelder und Serienspektren // Annalen der Physik, 330 (1908) (4). — DOI:10.1002/andp.19083300403.

Джерела[ред.ред. код]

  • Білий М. У., Охріменко Б. А. Атомна фізика. — К.: Знання, 2009. — 559 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М.: Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.