Ін'єктивний об'єкт

Ін'єктивний об'єкт — теоретико-категорне узагальнення поняття ін'єктивних модулів. Двоїстим є поняття проєктивного об'єкта.

Означення

Об'єкт Q є ін'єктивним, якщо для мономорфізму f : X → Y, довільний морфізм g : X → Q можна продовжити до Y.

Об'єкт $Q$ категорії $C$ називається ін'єктивним, якщо для будь-якого морфізма $g:X\to Q$ і будь-якого мономорфізма $f:X\to Y$ існує (не обов'язково єдиний) морфізм $h:Y\to Q,$для якого $h\circ f=g$.

У локально малих категоріях, об'єкт $Q$ є ін'єктивним тоді і тільки тоді коли контраваріантний функтор Hom $\operatorname {Hom} _{\mathfrak {C}}(-,Q)$ переводить мономорфізми у ${\mathfrak {C}}$ у сюр'єктивні відображення множин.

Досить багато ін'єктивних об'єктів

Кажуть, що в категорії $C$ досить багато ін'єктивних об'єктів, якщо для будь-якого об'єкта $X$ категорії $C$ існує мономорфізм $f:X\to Q$ в ін'єктивний об'єкт $Q$.

Ін'єктивна оболонка

Мономорфізм $g$ категорії $C$ називається істотним, якщо для будь-якого морфізма $f$ композиція $f\circ g$ є мономорфізмом, тільки якщо $f$ є мономорфізмом.

Якщо $f:X\to G$ — істотний мономорфізм і об'єкт $G$ є ін'єктивним, то $G$ називається ін'єктивною оболонкою $X$. Ін'єктивна оболонка є єдиною з точністю до неканонічного ізоморфізму.

Випадок абелевих категорій

Якщо ${\mathcal {C}}$ — (локально мала) абелева категорія, то її об'єкт $Q$ називається ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли функтор Hom $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,Q)$ є точним.

Ще одним еквівалентним еквівалентним означенням є: об'єкт $Q$ є ін'єктивним якщо і тільки якщо кожна послідовність виду

$0\to Q\to U\to V\to 0$

є точною у ${\mathcal {C}}$ тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто $U$ є ізоморфним прямій сумі $Q\oplus V$.

Загалом контраваріантний функтор Hom є точним зліва, тобто для короткої точної послідовності $0\to A\to B\to C\to 0$ точною є лише послідовність $0\to \mathrm {Hom} (C,Q)\to \mathrm {Hom} (B,Q)\to \mathrm {Hom} (A,Q).$ Для того щоб цей функтор був точним необхідно і достатньо щоб відображення $\mathrm {Hom} (B,Q)\to \mathrm {Hom} (A,Q)$ було сюр'єктивним, тобто для кожного морфізма $f:A\to Q$ існував морфізм $g:B\to Q,$ для якого $g\circ h=f,$ де $h:A\to B$ — морфізм із початкової точної послідовності. Оскільки в абелевій категорії мономорфізм $h:A\to B$ завжди можна продовжити до короткої точної послідовності (взявши за C коядро h) то звідси одержується еквівалентність загального означення із означенням через точність функтора Hom.

Якщо $Q$ є ін'єктивним об'єктом і $\operatorname {Id} :Q\to Q$ — одиничний морфізм, то з означення ін'єктивності випливає, що для мономорфізма $h:Q\to U$ існує морфізм $g:U\to Q,$ такий що $\operatorname {Id} _{Q}=h\circ g.$ Але існування такого морфізма є еквівалентним розщепленню точної послідовності $0\to Q\to U\to V\to 0.$

Навпаки, нехай довільна така коротка точна послідовність розщеплюється, $h:A\to B$ — мономорфізм і $f:A\to Q$ — довільний морфізм. В абелевій категорії існують всі розшаровані кодобутки і існування морфізму $g:B\to Q,$ для якого $g\circ h=f$ є еквівалентним існуванню морфізма ${\bar {g}}:B\sqcup _{A}Q\to Q,$ для якого $\operatorname {Id} _{Q}={\bar {g}}\circ i_{2}.$ У абелевій категорії розшаровані кодобутки зберігають мономорфізми, тому $i_{2}:Q\to B\sqcup _{A}Q$ теж є мономорфізмом і тому частиною точної послідовності :$0\to Q\to B\sqcup _{A}Q\to \operatorname {Kocer} i_{2}\to 0.$ Оскільки згідно умови ця послідовність розщеплюється то необхідний морфізм ${\bar {g}}$ існує.

Як і кожен контраваріантний адитивний функтор $\mathrm {Hom} _{C}(-,Q)$ є точним справа тоді і тільки тоді, коли переводить ядра у коядра. Ця умова є ще одною еквівалентною умовою ін'єктивності об'єкта $Q.$

Властивості

• Нехай $Q=\prod _{i\in I}Q_{i}$ — добуток деякої сім'ї об'єктів. Тоді $Q$ є ін'єктивним тоді і тільки тоді, коли всі $Q_{i}$ є ін'єктивними.
• Будь-який ін'єктивний підоб'єкт $Q$ об'єкта $C$ є його прямим доданком.
• Якщо ${\mathcal {C}}_{1},{\mathcal {C}}_{2}$ — абелеві категорії і $G:{\mathcal {C}}_{2}\to {\mathcal {C}}_{1}$ — функтор спряжений до точного функтора $F:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2},$ то G переводить ін'єктивні об'єкти категорії ${\mathcal {C}}_{2}$ у ін'єктивні об'єкти категорії ${\mathcal {C}}_{1}.$
• Нехай ${\mathcal {C}}_{1},{\mathcal {C}}_{2}$ — абелеві категорії і $G:{\mathcal {C}}_{2}\to {\mathcal {C}}_{1}$ — функтор спряжений справа до функтора $F:{\mathcal {C}}_{1}\to {\mathcal {C}}_{2}.$ Якщо G переводить ін'єктивні об'єкти категорії ${\mathcal {C}}_{2}$ у ін'єктивні об'єкти категорії ${\mathcal {C}}_{1}$ і у ${\mathcal {C}}_{2}$ є досить багато ін'єктивних об'єктів, то F є точним функтором.
• Якщо $Q_{1},Q_{2}$ є ін'єктивними оболонками об'єктів $P_{1},P_{2}$ відповідно, то $Q_{1}\oplus Q_{2}$ є ін'єктивною оболонкою $P_{1}\oplus P_{2}.$
• Якщо $Q_{1},Q_{2}$ є ін'єктивними оболонками об'єкта $P,$ то вони є ізоморфними.

Приклади

• У категорії абелевих груп ін'єктивними об'єктами є подільні групи.
• Адитивна група раціональних чисел є ін'єктивною оболонкою адитивної групи цілих чисел у категорії абелевих груп.
• Нехай p — просте число. Нехай $Z_{p^{\infty }}$ — мультиплікативна підгрупа комплексних чисел, що задовольняють хоча б одному рівнянню виду $z^{p^{n}}=1,\;n>0.$ Тоді у категорії абелевих груп $Z_{p^{\infty }}$ є ін'єктивною оболонкою для всіх груп $Z_{p^{m}}$ — коренів з одиниці степеня $p^{m}.$
• У категорії модулів $R-\mathrm {Mod}$ ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні модулі. У $R-\mathrm {Mod}$ існують ін'єктивні оболонки, і, як наслідок, досить багато ін'єктивних об'єктів.
• В категорії метричних просторів і коротких відображень ін'єктивними об'єктами є ін'єктивні метричні простори.
• Розглядають також ін'єктивні об'єкти в більш загальних категоріях, наприклад в категоріях функторів або в категоріях пучків модулів.

Узагальнення

об'єкт Q є H-ін'єктивним якщо для h : A → B із класу H, для будь-якого f : A → Q існує комутативна діаграма.

Нехай ${\mathfrak {C}}$ є категорією і ${\mathcal {H}}$ — клас морфізмів у ${\mathfrak {C}}$.

Об'єкт $Q$ категорії ${\mathfrak {C}}$ називається ${\mathcal {H}}$-ін'єктивним якщо для будь-якого морфізма $f:\to Q$ і кожного морфізма $h:\to B$ з класу ${\mathcal {H}}$ існує морфізм $g:B\to Q$ для якого $g\circ h=f$.

Якщо ${\mathcal {H}}$ є класом мономорфізмів то одержується означення ін'єктивних модулів.

Категорія ${\mathfrak {C}}$ має досить багато ${\mathcal {H}}$-ін'єктивних об'єктів якщо для кожного об'єкта X категорії ${\mathfrak {C}}$, існує ${\mathcal {H}}$-морфізм із X у ${\mathcal {H}}$-ін'єктивний об'єкт.

${\mathcal {H}}$-морфізм g у ${\mathfrak {C}}$ називається ${\mathcal {H}}$-істотним якщо для будь-якого морфізма f, композиція fg належить класу ${\mathcal {H}}$ лише якщо f належить класу ${\mathcal {H}}$.

Якщо g є ${\mathcal {H}}$-істотним морфізмом із X у ${\mathcal {H}}$-ін'єктивний об'єкт G, то G називається H-ін'єктивною оболонкою об'єкта X.

Див. також

• Ін'єктивний модуль
• Проєктивний об'єкт

Література

• И. Букур, А. Деляну Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972.
• Tennison, B. R. (1975), Sheaf theory, Cambridge University Press, MR 0404390