Корінь з одиниці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Корені п'ятого степеня з одиниці (вершини пятикутника)

Корінь n-го степеня з одиницікомплексний корінь многочлена . Іншими словами, це комплексне число , для якого

Запис[ред.ред. код]

Представимо одиницю в тригонометричному вигляді:

Тоді за формулою Муавра

одержимо:

Тут — корені з одиниці.

Корені з одиниці можна також записати в показниковій формі:

З цих формул випливає, що кількість коренів n-го степеня з одиниці завжди рівна , і всі вони різні.

Властивості[ред.ред. код]

Геометричні властивості[ред.ред. код]

Алгебраїчні властивості[ред.ред. код]

  • Корені з одиниці — цілі алгебраїчні числа.
  • Корені з одиниці утворюють абелеву групу щодо операції множення. Обернений елемент для кожного елементу цієї групи рівний спряженому елементу. Зокрема, будь-який цілий степінь кореня з одиниці теж є коренем з одиниці.
  • Група коренів з одиниці ізоморфна адитивній групі лишків . Звідси випливає, що вона є циклічною групою; за породжуючий елемент групи може бути взятий довільний елемент , індекс якого взаємно простий .
    • Наслідки:
    • елемент завжди є первісним;
    • якщо просте число, то степені будь-якого кореня, окрім , охоплюють всю групу;
    • число первісних коренів рівне , де функція Ейлера.
  • Якщо , то для суми степенів будь-якого первісного кореня з одиниці має місце формула:

Приклади[ред.ред. код]

Кубічні корені з одиниці

Кубічні корені з одиниці:

Корені 4-го степеня з одиниці:

Для коренів 5-го ступеня є 4 що первісні елементи:

Для коренів 6-го степеня первісних елементів тільки два:

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]