Диференціал (диференціальна геометрія)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Якщо відображення, φ, переводить кожну точку многовида M у многовид N, тоді диференціал φ переводить вектори дотичного простору у кожній точці в M у дотичний простір для відповідної точки в N.

Диференціа́л (від лат. differentia — різниця, відмінність) у математиці — лінійна частина приросту диференційовної функції або відображення. Це поняття тісно пов'язане з поняттям похідної за напрямком.

Необхідні знання[ред.ред. код]

Для повного розуміння цієї статті від читача потрібні початкові уявлення про гладкі многовиди і їх дотичні простори.

Позначення[ред.ред. код]

Зазвичай диференціал позначається . Деякі автори позначають шрифтом прямого накреслення, бажаючи підкреслити, що диференціал є оператором. Диференціал у точці позначається , а інколи або . ( є лінійна функція на дотичному просторі у точці .)

Якщо є дотичним вектором у точці , то значення диференціала на зазвичай позначають , у цьому позначення зайве, але позначення , і також правомірні.

Використовується так само позначення ; останнє зв'язане з тим, що диференціал є єдиним підняттям на кодотичні розшарування до многовидів і .

Означення[ред.ред. код]

Для дійснозначних функцій[ред.ред. код]

Нехай  — гладкий многовид і гладка функція. Диференціал являє собою 1-форму на , що зазвичай позначається і визначається наступним співвідношенням

де позначає похідну за напрямком дотичного вектора у точці .

Для відображень гладких многовидів[ред.ред. код]

Диференціал гладкого відображення із гладкого многовиду у многовид є відображенням між їх дотичними розшаруваннями, , таким що для будь-якої гладкої функції маємо

де позначає похідну за напрямком . (У лівій частині рівності береться похідна у функції за ; у правій — в функції за ).

Це поняття природним чином узагальнює поняття диференціала функції.

Пов'язані означення[ред.ред. код]

  • Точка многовиду називається критичною точкою відображення , якщо диференціал не є сюр'єктивним. (див. також теорема Сарда)
    • У цьому випадку називається критичним значенням .
    • Точка називається регулярною, якщо вона не є критичною.
  • Гладке відображення називається субмерсією, якщо для будь-якої точки , диференціал є сюр'єктивним.
  • Гладке відображення називається гладким зануренням, якщо для будь-якої точки , диференціал є ін'єктивним.

Властивості[ред.ред. код]

  • Диференціал композиції рівний композиції диференціалів:
    или

Приклади[ред.ред. код]

  • Нехай у відкритій множині задана гладка функція . Тоді , де позначає похідну , а є сталою формою, що визначається .
  • Нехай у відкритій множині задана гладка функція . Тоді . Форма може бути визначена співвідношенням , для вектора .
  • Нехай у відкритій множині задано гладке відображення . Тоді
де є матрицею Якобі відображення у точці .

Див. також[ред.ред. код]