Дотичний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Дотичний простір \scriptstyle T_xM і дотичний вектор \scriptstyle v\in T_xM, подовж кривої \scriptstyle \gamma (t), що проходить через точку \scriptstyle x\in M

Дотичний простір до гладкого многовиду M в точці x — сукупність дотичних векторів у цій точці, які утворюють природню структуру векторного простору.

Дотичний простір до M у точці x зазвичай позначають T_xM або — коли очевидно, про який многовид йде мова — просто T_x.

Сукупність дотичних просторів у всіх точках многовиду (разом із самим многовидом) утворюють векторне розшарування, яке називається дотичне розшарування. Відповідно, кожний дотичний простір є шар дотичного розшарування.

Також як у дотичного вектора, існує модифікація поняття дотичний простір — дотичний простір у точці p підмноговиду.

У найпростішому випадку, коли многовид гладко вкладений у векторний простір (що можливо завжди, згідно з Теоремою Вітні про вкладення), кожен дотичний простір можна природно ототожнити з деяким афінним підпростором охоплюючого векторного простору.

Означення[ред.ред. код]

Через диференціювання в точці[ред.ред. код]

Нехай Mгладкий многовид. Тоді дотичним простором назвемо простір диференціювань в точці p. Тобто простір операторів X які дають число Xf для кожної гладкої функції f:M\to \R, і володіють такими властивостями:

Легко бачити, що на множині всіх диференціювань в точці p можна ввести структуру лінійного простору:

(X+Y)f=Xf+Yf
(k\cdot X)f=k\cdot(Xf).

Через локальні координати[ред.ред. код]

Нехай M — гладкий многовид розмірності n, x \in M і \phi — деяке координатне відображення в околі точки x. Позначимо C^\infty (X, x, \R) множину гладких у точці x відображень з простору X у множину дійсних чисел. Дотичним вектором в точці x називається відображення:

v: C^\infty (X, x, \R) \to \R

таке що існують дійсні числа a_1, \ldots, a_n з наступною властивістю. Для довільної функції f \in C^\infty (X, x, \R),:

v(f) = \sum_{i=1}^n a_i  \frac{\partial}{\partial r_i}(f \circ \phi^{-1})|_{\phi(x)}

де r_i — координати простору \R^n.

Визначення через криві[ред.ред. код]

Нехай M — гладкий многовид розмірності n, p \in M і \phi — деяке координатне відображення в околі точки p. Нехай маємо дві криві \gamma_1, \gamma_2: (-1,1) \to M, такі що \gamma_1(0) = \gamma_2(0) = p. Тоді \gamma_1, \gamma_2 називаються еквівалентними, якщо \frac{d}{dt} (\phi \circ \gamma_1) (0) = \frac{d}{dt} ( \phi \circ \gamma_2) (0). Множина класів еквівалентності називається дотичним простором. Ототожнивши кожен клас еквівалентності з відповідним образом \frac{d}{dt} (\phi \circ \gamma) (0) у \R^n цю множину можна перетворити у векторний простір.

Властивості[ред.ред. код]

  • Дотичний простір n-вимірного гладкого многовиду є n-вимірним векторним простором.
  • Для обраної локальної карти x_1,\dots, x_n, оператори X_if=\frac {\partial f}{\partial x_i}(p) являють собою базис T_p, який називають голономним базисом.

Пов'язані означення[ред.ред. код]

  • Контактним елементом до многовиду у деякій точці називається будь-яка гіперплощина дотичного простору в цій точці.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. В.А. Зорич, Математический анализ, Т. 1,2. М. Наука, 1981
  2. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  3. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
  4. У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
  5. Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.