Дотичний простір
Дотичний простір до гладкого многовиду в точці — сукупність дотичних векторів у цій точці, які утворюють природну структуру векторного простору.
Дотичний простір до у точці зазвичай позначають або — коли очевидно, про який многовид йде мова — просто .
Сукупність дотичних просторів у всіх точках многовиду (разом із самим многовидом) утворюють векторне розшарування, яке називається дотичне розшарування. Відповідно, кожний дотичний простір є шар дотичного розшарування.
Також як у дотичного вектора, існує модифікація поняття дотичний простір — дотичний простір у точці підмноговиду.
У найпростішому випадку, коли многовид гладко вкладений у векторний простір (що можливо завжди, згідно з Теоремою Вітні про вкладення), кожен дотичний простір можна природно ототожнити з деяким афінним підпростором охоплюючого векторного простору.
Нехай — гладкий многовид. Тоді дотичним простором назвемо простір диференціювань в точці . Тобто простір операторів які дають число для кожної гладкої функції , і володіють такими властивостями:
Легко бачити, що на множині всіх диференціювань в точці можна ввести структуру лінійного простору:
Нехай — гладкий многовид розмірності n, і — деяке координатне відображення в околі точки x. Позначимо множину гладких у точці x відображень з простору X у множину дійсних чисел. Дотичним вектором в точці називається відображення:
таке що існують дійсні числа з наступною властивістю. Для довільної функції
де — координати простору
Нехай — гладкий многовид розмірності n, і — деяке координатне відображення в околі точки p. Нехай маємо дві криві такі що Тоді називаються еквівалентними, якщо Множина класів еквівалентності називається дотичним простором. Ототожнивши кожен клас еквівалентності з відповідним образом у цю множину можна перетворити у векторний простір.
- Дотичний простір -вимірного гладкого многовиду є -вимірним векторним простором.
- Для обраної локальної карти , оператори являють собою базис , який називають голономним базисом.
- Контактним елементом до многовиду у деякій точці називається будь-яка гіперплощина дотичного простору в цій точці.
- Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
- Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
- Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
- У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
- Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.