Дотичний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Дотичний простір і дотичний вектор , подовж кривої , що проходить через точку

Дотичний простір до гладкого многовиду в точці  — сукупність дотичних векторів у цій точці, які утворюють природню структуру векторного простору.

Дотичний простір до у точці зазвичай позначають або — коли очевидно, про який многовид йде мова — просто .

Сукупність дотичних просторів у всіх точках многовиду (разом із самим многовидом) утворюють векторне розшарування, яке називається дотичне розшарування. Відповідно, кожний дотичний простір є шар дотичного розшарування.

Також як у дотичного вектора, існує модифікація поняття дотичний простір — дотичний простір у точці підмноговиду.

У найпростішому випадку, коли многовид гладко вкладений у векторний простір (що можливо завжди, згідно з Теоремою Вітні про вкладення), кожен дотичний простір можна природно ототожнити з деяким афінним підпростором охоплюючого векторного простору.

Означення[ред.ред. код]

Через диференціювання в точці[ред.ред. код]

Нехай  — гладкий многовид. Тоді дотичним простором назвемо простір диференціювань в точці . Тобто простір операторів які дають число для кожної гладкої функції Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle f:M\to \R} , і володіють такими властивостями:

Легко бачити, що на множині всіх диференціювань в точці можна ввести структуру лінійного простору:

Через локальні координати[ред.ред. код]

Нехай  — гладкий многовид розмірності n, і  — деяке координатне відображення в околі точки x. Позначимо Неможливо розібрати вираз (MathML з переходом на SVG чи PNG (рекомендовано для сучасних браузерів та інструментів покращення доступу): Недійсна відповідь («Math extension cannot connect to Restbase.») від сервера «/mathoid/local/v1/»:): {\displaystyle C^\infty (X, x, \R)} множину гладких у точці x відображень з простору X у множину дійсних чисел. Дотичним вектором в точці називається відображення:

таке що існують дійсні числа з наступною властивістю. Для довільної функції

де  — координати простору

Визначення через криві[ред.ред. код]

Нехай  — гладкий многовид розмірності n, і  — деяке координатне відображення в околі точки p. Нехай маємо дві криві такі що Тоді називаються еквівалентними, якщо Множина класів еквівалентності називається дотичним простором. Ототожнивши кожен клас еквівалентності з відповідним образом у цю множину можна перетворити у векторний простір.

Властивості[ред.ред. код]

  • Дотичний простір -вимірного гладкого многовиду є -вимірним векторним простором.
  • Для обраної локальної карти , оператори являють собою базис , який називають голономним базисом.

Пов'язані означення[ред.ред. код]

  • Контактним елементом до многовиду у деякій точці називається будь-яка гіперплощина дотичного простору в цій точці.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  1. В. А. Зорич, Математический анализ, Т. 1,2. М. Наука, 1981
  2. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
  3. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
  4. У. Рудин. Основы математического анализа — М.: Мир, 1976
  5. Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир. 1968.