Норма (математика)

Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.

Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором.

Означення норми

Нормою у векторному просторі $V$ над полем $\mathbb {K}$ називають відображення $\|\cdot \|:V\rightarrow \mathbb {R} ,$ що задовольняє наступним умовам:

1. $\|v\|\geq 0,\quad \|v\|=0$ тільки при $v={\vec {0}}$ (невід'ємність)
2. $\|rv\|\,=\,|r|\|v\|,\quad$ де $r\in \mathbb {K}$ — скаляр (однорідність)
3. $\|u+v\|\,\leq \,\|u\|+\|v\|,\quad \forall u,v\in V$ (нерівність трикутника)

Ці умови також відомі як аксіоми норми.

Властивості

За допомогою норми $\|\cdot \|,$ векторний простір $V$ одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань $d(u,v)=\|u-v\|.$ Зазначимо, що для будь-яких $u,v,w\in V$ виконується $d(u+w,v+w)=d(u,v),$ метрики на векторному просторі $V$ з такою властивістю називаються трансляційно інваріантними. Найважливіший спеціальний випадок — це коли метричний простір $V$ є повним відносно метрики означеної нормою, тобто коли $V$ — повний нормований лінійний простір, або банахів простір.

Геометричний зміст норми

З геометричної думки, задання норми на $V$ — це те й саме, що і задання її одиничної кулі $B(0,1)=\{v\in V:\|v\|\leq 1\},$ тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору $V,$ що містить нульовий вектор ${\vec {0}}$ серед своїх внутрішніх точок.

Приклади

Евклідова норма

Нехай $V=\mathbb {R} ^{n}$ — це $n$-вимірний координатний векторний простір. Евклідова норма на $V$ визначається за формулою $\|u\|={\sqrt {(u,u)}},$ де $(u,v)=\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}$ — це стандартний скалярний добуток на $\mathbb {R} ^{n}.$ Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з нерівності Коші-Буняковського у $\mathbb {R} ^{n}.$ Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.

Супремум норма

Нехай $V=\mathbb {R} ^{n},$⁣ але цього разу визначимо норму за формулою $\|u\|=\operatorname {sup} _{i=1}^{n}|u_{i}|$ (це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб $\{u\in \mathbb {R} ^{n}:|u_{i}|\leq 1,1\leq i\leq n\},$ що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між $-1$ і $1.$

Манхетенська норма

Нехай $V=\mathbb {R} ^{n},$ але цього разу визначимо норму за формулою $\|u\|=\sum _{i=1}^{n}|u_{i}|.$ Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми — це узагальнений октаедр, що є правильним політопом $n$-вимірного простору полярним до $n$-вимірного куба.

Еквівалентність норм

Нехай $\|\cdot \|_{1},\,\|\cdot \|_{2}$ — дві норми визначені на одному і тому ж просторі $\!V$. Якщо існує таке дійсне $C>0,$ що $\|v\|_{1}\leq C\|v\|_{2}$ для будь-якого $v\in V,$ то норма $\|\cdot \|_{1}$ називається підпорядкованою нормі $\|\cdot \|_{2}.$ Якщо водночас і норма $\|\cdot \|_{2}$ підпорядкована нормі $\|\cdot \|_{1}$, то такі дві норми називаються еквівалентними.

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)