Діаграма Фейнмана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Діаграми Фейнмана  — зображення певних інтегралів, які зустрічаються в квантовій теорії поля за допомогою малюнків, запропоноване Річардом Фейнманом.

Фейнманівська діаграма народження електрон-позитронної пари

Інтеграли легко відтворити за малюнками, а крім того малюнки ще й дають виразне уявлення про фізичний процес, якому відповідає той чи інший матричний елемент.

Діаграми складаються з променів і вершин. Кожен із променів відповідає частинці. Кожна вершина — взаємодії. Якщо промінь сполучає дві вершини, то це віртуальна частинка, яка народжується й одразу ж зникає.

Хоча Фейнманівскі діаграми були придумані для квантової електродинаміки, ідея сподобалася й широко застосовується в інших розділах теоретичної фізики.

Опис методу[ред.ред. код]

Складовими елементами діаграми Фейнмана є вершини, внутрішні і зовнішні лінії. Кожна з ліній з'єднується з деякими вершинами: внутрішня з двома, а зовнішня з однією. Набір вершин визначається структурою , а набір зовнішніх і внутрішніх ліній — структурою . Кожному моному за полями в відповідає певний тип вершин, а кожному виду поля в певний тип ліній. Якщо поле нейтральне (відповідна частинка збігається зі своєю античастинкою), то лінія вважається ненапрямленою, в іншому разі лінія напрямлена і на діаграмі має стрілку.

Image1 feynmann diagrams.PNG

Існують так звані правила Фейнмана, які зіставляють кожному елементу діаграми Фейнмана певні математичні об'єкти (величини і операції), так що за діаграмою Фейнмана можна однозначно побудувати аналітичний вираз, що дає внесок в амплітуду розсіювання квантованих полів. Разом з тим діаграми Фейнмана дозволяють такому внеску дати наочну класичну інтерпретацію у вигляді ряду послідовних локальних перетворень частинок. Кожному окремому перетворенню відповідає вершина, внутрішнім лініям — поширення проміжної частинки від одного акту перетворення до іншого (пропагатор частинки), зовнішнім лініям — хвильові функції початкових і кінцевих частинок, що беруть участь у процесі.

Для прикладу розглянемо діаграми Фейнмана у квантовій електродинаміці (КЕД), яка описує взаємодію електронів, позитронів і фотонів. У КЕД є лише один тип вершин (рис. 1) і два типи ліній (рис. 2). Ненапрямлена хвиляста лінія відноситься до фотона, а напрямлена пряма — до електрона і позитрона.

В останньому випадку поширенню основної частки (електрона) відповідає рух уздовж лінії у напрямку стрілки, а поширенню античастинки (позитрона) — рух проти стрілки.

Кожна з діаграм Фейнмана має кілька інтерпретацій залежно від напрямку руху вздовж ліній цієї діаграми. Так, для діаграми Фейнмана, зображеної на рис. 3, припустимі такі варіанти.

  1. Рух по лініях зліва направо — розсіювання фотона на електроні. У вершині 1 початковий електрон поглинає початковий фотон, при цьому утворюється проміжний електрон, який поширюється від вершини 1 до вершини 2. Тут він випромінює кінцевий фотон і перетворюється в кінцевий електрон. Результатом процесу є перерозподіл 4-імпульсу (енергії і імпульсу) між електроном і фотоном.
  2. Рух по лініях справа наліво — розсіювання фотона на позитроні.
  3. Рух від низу до верху — анігіляція електрона і позитрона з перетворенням їх на два фотони.
  4. Рух зверху вниз — народження електрон-позитронної пари при зіткненні двох фотонів.

Згідно з правилами Фейнмана, в кожній вершині взаємоперетворення частинок відбувається з інтенсивністю, пропорційною деякій константі зв'язку (константі взаємодії), і з дотриманням закону збереження 4-імпульсу. Разом з тим релятивістське співвідношення між енергією і імпульсом ( — енергія, Р — звичайний тривимірний імпульс, m — маса) виконується тільки для початкових і кінцевих частинок, що описуються зовнішніми лініями (реальні частинки). Це співвідношення порушується для проміжних частинок, що описуються внутрішніми лініями, тому вони називаються віртуальними частинками. Для них і Р можуть незалежно набувати значень від -∞ до +∞.

Поле може бути як однокомпонентним, так і багатокомпонентним. В КЕД і фотонне (векторне електромагнітне) поле, і електрон-позитронне (спінорне) поле мають по чотири компоненти. Кожна лінія в діаграмі Фейнмана описує відразу всю сукупність компонент відповідного поля. У суперсиметричних моделях лінія в діаграмі Фейнмана описує поширення цілого мультиплету елементарних частинок, які відповідають різним компонентам одного суперполя.

Тип фізичного процесу визначається тільки тими частками, які є на вході і виході цього процесу. Тому всі діаграми Фейнмана з одним і тим самим набором зовнішніх ліній, незалежно від своєї внутрішньої структури, відповідають одному і тому ж фізичному процесу. Кожна з таких діаграм вносить адитивний внесок в амплітуду процесу. Так, крім діаграми, зображеної на рис. 3, ефекту Комптона відповідають, наприклад, діаграми, наведені на рис. 4.

Відмінною рисою цих діаграм є наявність в них замкнутих циклів (петель), що складаються з внутрішніх ліній. Діаграми типу рис. 4, а називаються однопетльовими, а типу рис. 4, б і рис. 4, в — двопетльовими. Безпетльові діаграми типу рис. 3 називаються деревними. З усіх діаграм, що відповідають даному фізичному процесу, деревні діаграми мають найменше число вершин. Тому в теорії збурень, в якій роль малого параметра грає константа зв'язку, деревні діаграми роблять основний внесок, а діаграми з петлями описують радіаційні поправки.

Крім розкладання всіх величин в ряд теорії збурень за константою зв'язку використовується розкладання в ряд за сталою Планка. Виявляється, що внесок діаграми Фейнмана пропорційний , де n — число петель в даній діаграмі. Тому в класичній границі (h → 0) внесок дають тільки деревні діаграми. Крім амплітуд розсіювання діаграми Фейнмана використовуються для опису функцій Гріна (в КТП). В обох випадках структури діаграм дуже схожі, що відображає тісний зв'язок між функціями Гріна і амплітудами розсіювання. Істотною відмінністю є лише те, що для функцій Гріна зовнішніх ліній відповідає поширення віртуальних частинок (поза масовою поверхнею).

Згідно з правилами Фейнмана, кожній петлі в діаграмі Фейнмана відповідає інтегрування за 4-імпульсом, який може циркулювати в даній петлі, не порушуючи законів збереження в вершинах. Деякі з цих інтегралів розходяться за рахунок нескінченного обсягу інтегрування (ультрафіолетові розбіжності[en]). Існує послідовний метод, званий процедурою регуляризації і перенормування[ru], який дозволяє позбутися цих розбіжностей. У цьому методі формулюються правила, за якими деяким внутрішнім блокам (узагальненим вершинам, див. нижче) у діаграмі Фейнмана ставляться у відповідність певні математичний операції. З їх допомогою вдається компенсувати ультрафіолетові розбіжності.

У виділенні узагальнених вершин, які використовуються в процедурі перенормувань, суттєву роль грає така класифікація діаграм Фейнмана. Діаграма називається зв'язною, якщо з будь-якої її вершини можна потрапити в будь-яку іншу, переміщуючись по внутрішніх лініях. В іншому випадку діаграма називається незв'язною. Діаграма називається сильно зв'язною або одночастинно незвідною, якщо вона залишається зв'язною після розриву будь-якої однієї внутрішньої лінії. Різні сукупності вершин і внутрішніх ліній діаграми називаються її піддіаграмами. Їх класифікують так само, як і діаграми. Узагальнені вершини — це сильно зв'язні піддіаграми, які приєднуються до інших частин діаграми так само, як звичайні вершини або внутрішні лінії. У КЕД три типи узагальнених вершин: власна енергія електрона (приєднується двома електрон-позитронними лініями), власна енергія фотона або поляризація вакууму (приєднується двома фотонними лініями), трикутна вершина (приєднується двома електрон-позитронними лініями і однієї фотонної).

Специфічні особливості має діаграмна техніка для моделей з неабелевими калібрувальними полями. Це пов'язано з тим, що для їх послідовного релятивістськи інваріантного формулювання доводиться розглядати крім фізичних компонент калібрувальних полів і нефізичні. Виявляється, що зайвий внесок у спостережувані величини від нефізичних компонент можна компенсувати внеском деяких «духових» полів, що мають неправильний зв'язок спіну зі статистикою. Відповідно до цього крім діаграм, що описують поширення і взаємодію матеріальних і калібрувальних полів, доводиться розглядати діаграми, в яких фігурують «духові» поля. Так, у квантовій хромодинаміці крім вершин, що описують взаємодію матеріальних полів (кварків) з калібрувальними полями (глюонами) і глюонів між собою (рис. 5, а і рис. 5, б, 5, в), доводиться вводити вершини, що описують взаємодію глюонів з «духами» (рис. 5, г).

Поскольку для физических процессов ни в начальном, ни в конечном состоянии «духи» присутствовать не могут, то вклад в амплитуду таких процессов дают только диаграммы, в которых нет внешних «духовых» линий. Однако при рассмотрении выражений, не зависящих от поляризации начальных и (или) конечных калибровочных полей, иногда технически более удобно суммировать по всем компонентам этих полей, а не только по физическим. В этом случае вклад нефизических компонент может быть скомпенсирован вкладом от диаграмм, в которых в начальном и (или) конечном состоянии «духи» присутствуют.

Оскільки для фізичних процесів ні в початковому, ні в кінцевому стані «духи» не можуть бути присутніми, то внесок в амплітуду таких процесів дають тільки діаграми, в яких немає зовнішніх «духових» ліній. Однак при розгляді виразів, що не залежать від поляризації початкових і (або) кінцевих калібрувальних полів, іноді технічно більш зручно підсумовувати за всіма компонентами цих полів, а не тільки за фізичними. У цьому випадку внесок нефізичних компонент може бути скомпенсований внеском від діаграм, в яких у початковому і (або) кінцевому стані «духи» присутні.

Література[ред.ред. код]

  • Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. — М. : ГИФМЛ, 1962. — 444 с.
  • Блейзо Ж.-П., Рипка Ж. Квантовая теория конечных систем. — К. : Феникс, 1998. — 480 с.
  • Маттук Р. Фейнмановские диаграммы в проблеме многих тел. — М. : Мир, 1969. — 368 с.
  • Садовский М. В. Диаграмматика. — Ижевск : РХД, 2010. — 376 с.

Див. також[ред.ред. код]


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.