Еліптичні функції Веєрштрасса

Еліптичні функції Веєрштрасса — одні з найпростіших еліптичних функцій. Цей клас функцій названий на честь Карла Веєрштрасса. Також їх називають $\wp$-функціями Веєрштрасса, і використовують для їх позначення символ $\wp$ (стилізоване P).

Визначення

Нехай задана деяка ґратка $\Gamma$ в $\mathbb {C}$. Тоді $\wp$-функцією Веєрштрасса на ній називається мероморфна функція, задана як сума ряду

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-w)^{2}}}-{\frac {1}{w^{2}}}\right).$

Можна побачити, що така функція буде $\Gamma$-періодичною на $\mathbb {C}$, і тому є мероморфною функцією на $E$.

Ряд, що задає функцію Веєрштрасса є, в певному значенні, «регуляризованою версією» розбіжного ряду, $\sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{(z-w)^{2}}}$ — «наївної» спроби задати $\Gamma$-періодичну функцію. Цей ряд є абсолютно розбіжним (а за відсутності природного порядку на $\Gamma$ має сенс говорити тільки про абсолютну збіжність) при всіх z, оскільки при фіксованому z і при великих w модулі його членів поводяться як ${\frac {1}{|w|^{2}}}$, а сума $\sum _{w\in \Gamma }{\frac {1}{|w|^{2}}}$ по двовимірних ґратках $\Gamma$ є розбіжною.

Варіанти визначення

Задаючи ґратку $\Gamma$ її базисом $\Gamma =\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}$, можна записати

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right).$

Також, оскільки функція Веєрштрасса як функція трьох змінних однорідна $\wp (az;a\omega _{1},a\omega _{2})=a^{-2}wp(z;\omega _{1},\omega _{2})$, позначивши $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$, має місце рівність:

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1};1,\tau ).$

Тому розглядають

$\wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}\left({\frac {1}{(z-m-n\tau )^{2}}}-{\frac {1}{(m+n\tau )^{2}}}\right).$

Властивості

• Функція Веєрштрасса $\wp _{E}:E\mapsto {\widehat {\mathbb {C} }}$ — парна мероморфна функція, з єдиним полюсом другого порядку в точці 0.
• Скориставшись розкладом ${\frac {1}{(w-z)^{2}}}={\frac {1}{w^{2}}}+\sum \nolimits _{j=1}^{\infty }{\frac {j+1}{w^{j+2}}}z^{j}$ і посумувавши по $w\in \Gamma \setminus \{0\}$, можна одержати розклад в точці $z=0$ функції Веєрштрасса в ряд Лорана:

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=2}^{\infty }(2k+1)G_{2k}(\Gamma )z^{2k-2},$ де $G_{2k}(\Gamma )=\sum _{w\in \Gamma \setminus \{0\}}w^{-2k}$  — ряди Ейзенштейна для ґратки $\Gamma$ (відповідні непарні суми рівні нулю).

Проте, коефіцієнти при $z^{2}$ і $z^{4}$ часто записують в іншій, традиційній формі:

$\wp _{E}(z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}(\Gamma )z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}(\Gamma )z^{4}+\dots ,$

де $g_{2}$ і $g_{3}$ — модулярні інваріанти ґратки $\Gamma$:

$g_{2}(\Gamma )=60G_{4}(\Gamma ),\quad g_{3}(\Gamma )=140G_{6}(\Gamma ).$

Диференціальні і інтегральні рівняння

Диференціальні рівняння

З визначеними раніше позначеннями, ℘ функція задовольняє наступне диференціальне рівняння:

$[\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},$.

Інтегральні рівняння

Еліптичні функції Веєрштрасса можуть бути подані через обертання еліптичних інтегралів. Нехай

$u=\int _{y}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.$

де g₂ і g₃ приймаються константами. Тоді

$y=\wp (u).$

Модулярний дискримінант

Дійсна частина дискримінанта як функція від $q=e^{\pi i\tau }$ на одиничному крузі

Модулярний дискримінант $\Delta$ еліптичної функції Веєрштрасса означується як дискримінант многочлена в правій частині диференціального рівняння наведеного вище:

$$\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.$$

Дискримінант є модулярною формою ваги 12. Це означає, що під дією модулярної групи він перетворюється за правилом

$$\Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )$$

де $a,b,d,c\in \mathbb {Z}$ такі, що $ad-bc=1$.

Справедлива рівність $\Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}$, де $\eta$ позначає ета-функцію Дедекінда.

Коефіцієнти Фур'є розкладу $\Delta$ в ряд по степенях $q=e^{\pi i\tau }$ визначаються через тау-функцію Рамануджана.

Додаткові властивості

Для еліптичних функцій Веєрштрасса виконується:

$\det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{bmatrix}}=0$

(або в більш симетричній формі

$\det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0$

де $u+v+w=0$).

Також

$\wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).$

і

$\wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),$

якщо $2z$ не є періодом.

Вираження довільних еліптичних функцій через функції Веєрштрасса

Будь-яка еліптична функція з періодами $a$ і $b$ може бути представлена у вигляді $f(z)=h(\wp (z))+g(\wp (z)){\wp }'(z)$ де h, g — раціональні функції, $\wp (z)$ — функція Веєрштрасса з тими ж періодами що і у $f(z)$. Якщо при цьому $f(z)$ є парною функцією, то її можна представити у вигляді $f(z)=h(\wp (z))$, де h раціональна. Іншими словами поле еліптичних функцій з фундаментальними періодами $a$ і $b$ є скінченним розширенням поля $\mathbb {C}$ комплексних чисел, з породжуючими елементами $\wp (z)$ і ${\wp }'(z)$.

Див. також

• Еліптична функція
• Еліптична крива
• Еліптичні функції Якобі
• Ряди Ейзенштейна

Література

1. K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
2. Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6