Згасні коливання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Згасаючі коливання)
Перейти до: навігація, пошук
Слабко згасні коливання маятника

Згасаючі коливання — коливання, енергія яких зменшується з плином часу. Процес, що триває нескінченно, виду \scriptstyle u(t) = A \cos(\omega t+q) в природі неможливий. Вільні коливання будь-якого осцилятора рано чи пізно загасають і припиняються. Тому на практиці звичайно мають справу з затухаючими коливаннями. Вони характеризуються тим, що амплітуда коливань A є спадною функцією. Зазвичай загасання відбувається під дією сил опору середовища, найчастіше залежних лінійно від швидкості коливань \scriptstyle u'_t або її квадрату.

В акустиці: загасання - зменшення рівня сигналу до повної нечутності.

Коливання можна описати такими типами:

  • Надзгасні (англ. overdamped): Система повертається до рівноваги без коливань.
  • Критично згасні (англ. critically damped): Система повертається до рівноваги так швидко як це можливо без коливань.
  • Слабко згасні (англ. underdamped): Система коливається (з меншою частотою порівняно до незгасного випадку) з амплітудою, що поступово зменшується до нуля.
  • Незгасні (англ. undamped): Система коливається в її природній резонансній частоті (\omega_0).

Лінійне згасання[ред.ред. код]

Особливо корисний у математиці тип затухання — лінійне. Лінійне затухання зустрічається за умови коли змінна коливання амортизується силою, що впливає на неї прямо пропорційно до миттєвої швидкості змінювання, швидкості або похідної по часу самої змінної.

У фізиці й інженерії, згасання математично можна змоделювати як силу синхронну зі швидкістю об'єкта, але в протилежному напрямку до неї. Якщо ця сила пропорційна швидкості, як для простого механічного демпфера, силу F можна співвіднести зі швидкістю v так

 F = -cv \, ,

де c — коефіцієнт згасання, заданий в одиницях ньютон-секунда на метр.

Цю силу можна використовувати як приблизне тертя спричинене опором середовища і можна втілити за допомогою демпфера. (Цей пристрій використовує в'язку рідину, таку як мастило, для забезпечення спротиву який лінійно співвідноситься зі швидкістю.) Навіть коли тертя пов'язане з v^2, якщо швидкість обмежена маленьким діапазоном, то цій нелінійний вплив може бути маленьким. У такому разі, можна визначити лінеаризований коефіцієнт тертя c_{lin} так, що він дає маленьку помилку.

Якщо наявна відновлювальна сила (така як завдяки пружині), яка пропорційна зміщенню x і у протилежному напрямку, то через прирівнювання суми цих двох сил до маси об'єкта помноженої на прискорення можемо отримаємо диференціальне рівняння другого порядку чиї члени можна вишикувати таким чином:

 \frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_0\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = 0,

де ω0 це незгасна кутова частота осцилятора і ζ відома як стала швидкості згасання. Це рівняння чинне для багатьох коливальних систем, але з різними формулами для швидкості згасання і незгасної кутової швидкості.

Значення швидкості згасання ζ визначає поведінку системи так, що ζ = 1 відповідає критично згасним коливанням, більші значення відповідають надзгасним, а менші значення слабко згасним коливанням. Якщо ζ = 0, тоді коливання незгасні.

Приклад: маса-пружина-демпфер[ред.ред. код]

Маса прикріплена до пружини та демпфера.

Ідеальна система маса-пружина-демпфер з масою m, коефіцієнтом жорсткості k і в'язким демпфером з коефіцієнтом в'язкості c піддається коливальній силі

F_\mathrm{s} = - k x \,

і гамувальній силі

F_\mathrm{d} = - c v = - c \frac{dx}{dt} = - c \dot{x}.

Розглядаючи масу як вільне тіло і застосовуючи другий закон Ньютона, сумарна сила Ftot на тіло така

F_\mathrm{tot} = ma = m \frac{d^2x}{dt^2} = m \ddot{x}.

де a це прискорення маси і x це зміщення маси щодо фіксованої точки.

Оскільки Ftot = Fs + Fd,

m \ddot{x} = -kx + -c\dot{x}.

Це диференціальне рівняння можна перегрупувати як

\ddot{x} + { c \over m} \dot{x} + {k \over m} x = 0.\,

Тоді визначені такі параметри:

\omega_0 = \sqrt{ k \over m }
\zeta = { c \over 2 \sqrt{m k} }.

Перший параметр, ω0, називається (незгасна) природна частота системи. Другий параметр, ζ, називається швидкість згасання. Природна частота представляє кутову частоту, виражена в радіанах на секунду. Швидкість згасання є безрозмірнісною величиною.

Тепер диференційне рівняння набуває вигляду

\ddot{x} + 2 \zeta \omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = 0.\,

Продовжуючи, ми можемо розв'язати рівняння припускаючи розв'язок x таким що:

x = e^{\gamma t}\,

де параметр \gamma є, загалом кажучи, комплексним числом.

Підставляння цього розв'язку назад у диференціальне рівняння дає

\gamma^2 + 2 \zeta \omega_0 \gamma + \omega_0^2 = 0 \, ,

що є характеристичним рівнянням.

Розв'язування характеристичного рівняння надасть нам два корені, \gamma_+ і \gamma_-. Які можуть бути або обидва дійсні, відмінні чи однакові, або обидва комплексні.

Поведінка системи[ред.ред. код]

Часова залежність поведінки системи від значень коефіцієнта згасання ζ, для незгасного (синім), слабко згасного (зеленим), критично згасного (червоним) і надзгаснго (блакитним) випадків, за умови нульової початкової швидкості.

Поведінка системи залежить від співвідношення значень двох засадничих параметрів, природної частоти ω0 і швидкості згасання ζ. Зокрема, якісна поведінка системи критично залежить на тому чи квадратне рівняння для γ має одне дійсне, два дійсних, чи два спряжених комплексних розв'язки.

Література[ред.ред. код]

Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001.