Коливання

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Рис. 1 Пружинний маятник

Колива́ння — специфічні рухи або зміни стану систем різної фізичної природи (механіка, фізика, біологія, хімія, економіка та ін.) для яких спостерігається певна повторюванність в часі. В багатьох випадках для опису коливальних процесів використовуються близькі за змістом поняття -вібрація, осциляція. Коливальні процеси характерні для величезної кількості явищ в навколишньому світі та в людському суспільстві. "Світ, в якому ми живемо, дивно схильний до коливань... Коливаються навіть атоми, з яких ми складаємось"[1]. Коливальний процес в будь-якій системі виникає лише тоді, коли її будова забезпечує виникнення сил, що намагаються повернути систему до стабільного стану при внесенні зовнішніх збурень. Такі сили називають відновлювальними. Для системи на рис.1 відновлювальну силу створює пружина, що опирається розтягу-стиску.

Специфіка коливальних процесів виражається в тому, що зміни стану системи відбуваються в околі певного стабільного (статичного або динамічного) стану. Найпростіший приклад -- поведінка вантажу на пружині, яка показана на приведеній анімації Тут зміна стану (положення) маси відбувається навколо положення статичної рівноваги. Більш складним є коливальний процес, який реалізується при русі автомобіля (поїзда) по нерівній дорозі. В цьому випадку можна говорити про коливання відносно уявного стану автомобіля, що рухається по ідеальній дорозі. Якщо при коливаннях спостерігається постійне повернення системи до початкового стану через певний проміжок часу  — період Т, то коливання називають періодичними.В закономірностях коливальних процесів є багато спільного незалежно від фізичних властивостей складових коливальної системи. Саме ця обставина зумовила формування такої наукової дисципліни як Теорія коливань[2]. Вивчення теорії коливань є важливою складовою фундаментальної підготовки інженерів багатьох спеціальностей [3].

Типи коливальних систем[ред. | ред. код]

При математичному моделюванні поведінки коливальних систем різної фізичної природи перш за все у відповідності до поставленої задачі визначають кількість незалежних параметрів, необхідних для описання поведінки коливальної системи. Так, наприклад, при моделюванні найпростішої коливальної системи - тіло на пружині за звичай вважають, що тіло недеформівне і пружина не має маси. Для показаного на рисунку випадку також зроблено припущення про відсутність демпфування, що визначає незатухаючий характер коливань. В цьому випадку для повного опису поведінки системи достатньо знання залежності від часу функції , що визначає відхилення тіла від положення рівноваги.

На рис.2 зображена модель більш складної системи.

Рис.2. Система з двома ступенями вільності.

Для повного опису її поведінки уже необхідно знати зміну в часі двох величин і , що визначають відхилення кожного тіла від положення рівноваги. Така система є системою з двома степенями вільності. В загальному випадку в теорії коливань виділяють окремо системи зі закінченим числом степеней вільності. Детальний аналіз коливань в системі, представленій на рис.2, проведено в посібнику[4]. Саме при аналізі коливань такої двохмасової системи зустрічаємося з фундаментальною властивістю коливальних систем. При довільних значеннях фізичних параметрів в даній системі можуть реалізуватися два періодичних рухи з певними частотами і . Ці періодичні коливання називаються нормальними коливаннями, а відповідні частоти власними частотами нормальних коливань. Такі нормальні коливання, які існують для сисем з довільним ччислом ступеней вільності, відіграють надзвичайно важливу роль в теорії коливань. Аналіз загальних випадків початкових умов показує, що при будь-яких початкових умовах коливання в системі завжди можна представити як суперпозицію двох нормальних коливань. Цей факт є проявом загальної властивості нормальних коливань для всіх коливальних систем.

В фізиці дуже часто при математичному моделюванні поведінки різних систем використовують поняття суцільного середовища. При аналізі коливальних процесів в таких системах маємо справу з системами з нескінченним числом степеней вільності або системи з розподіленими параметрами. Принципова відмінність математичного опису поведінки таких систем полягає в тому, системи зі скінченним числом степеней вільності описуються системами звичайних диференціальних рівнянь, а для опису системи з розподіленими параметрами формулюються рівняння в частинних похідних. В залежності від умов роботи системи часто одна і таж фізична система може моделюватися, як система зі скінченним числом степеней вільностіЮ так і як система з розподіленими параметрами. Якщо маса пружини для системи на рис.1 буде співмірна з масою тіла, то таку систему уже слід розгядати як систему з розподіленими параметрами. Найпростішим прикладом такої системи є струна, яка розглядається нижче.

Види коливань[ред. | ред. код]

При аналізі взаємодії коливальної ситсеми з джерелом збурень виділяють вільні і вимушені коливання.Для вільних коливань характерно, що зовнішнє джерело збурень викликає лише певне початкове відхилення системи від рівноважного стану і в подальшому система злійснює вільні рухи. Якщо силові чи кінематичні збурення постійно діють на систему за час спостереження то коливання, що виникають в ніц називають вимушеними.залежності від наявності механізму розсяння енергії власні коливання системи можуть бути затухаючими або не затухаючими. Наявність незатухаючих коливань є наслідком нехтуванням при побудові математичної моделі важливою властивістю реальніх коливальних систем. Незатухаючі коливання можуть існувати в системах з демпфування, що знаходяться під постійною дією дією зовнішніх сил. Такі коливання можуть бути і не періодичними, як, наприклад, коливання автомобіля при їзді по нерівній дорозі.

Рис.3. Приклад реалізації стохастичного коливального процесу.

Принципова різниця існує між детермінованими та стохастичними коливаннями. Якщо для перших можливо вказати стан системи в будь який момент часу, то для систем стохастичних цього зробити неможливо. Прикладом таких стохастичних коливань є тільки но вказані коливання автомобіля або коливання середньої температури повітря за значний проміжок час. Експериментальні дані про характер таких коливань показано на рис.3.Відновлюча сила та інші силоові фактори, що діють на коливальну систему можуть мати різну залежність від переміщень та швидкостей точок в системі. В залежності від цього розрізняють лінійні та нелінійні коливання.

Системи з однією ступінню вільності[ред. | ред. код]

Вільні коливання без демпфування[ред. | ред. код]

Незгасаючі механічні коливання виконуватиме система, що складається з тіла масою m і пружини, яка повертає тіло до положення рівноваги. Таку систему називають пружинним маятником (рис.1).

Якщо вивести тіло з положення рівноваги, відхиливши його на відстань х, то воно набуде потенціальної енергії, що дорівнює роботі розтягання пружини. Відпустивши тіло, ми даємо йому змогу повернутися в початкове положення рівноваги. У цьому положенні вся потенціальна енергія перейде в кінетичну, тіло за інерцією продовжуватиме рух, стискаючи пружину і виконуючи роботу стискання. Коли всю кінетичну енергію буде витрачено на роботу стискання, тіло зупиниться, набувши потенціальної енергії. А це означає, що процес перетворення кінетичної енергії в потенціальну, і навпаки, буде відбуватися як завгодно довго, тобто тіло виконуватиме незгасаючі коливання від -х до +х.

Рівняння коливань, тобто рівняння, що описує залежність зміщення х від часу t, можна, знайти використовуючи закони механіки. За другим законом динаміки швидкість зміни імпульсу дорівнює сумі всіх сил, які діють на тіло:


Надалі знаки векторів можна не записувати, оскільки рух одновимірний. Тіло вважатимемо матеріальною точкою з масою m. У нашому випадку діє єдина сила — пружна повертаюча сила Fпр. Згідно із законами Гука при малих зміщеннях сила пружності прямо пропорційна до зміщення: Fпр = -kx

Знак «мінус» означає, що сила направлена в бік, протилежний зміщенню. Коефіцієнт пропорційності k називається коефіцієнтом жорсткості пружного елемента. Маса m стала, і тому


або


Поділивши обидві частини рівняння на масу m і позначивши

дістанемо диференціальне рівняння вільних незгасаючих коливань

.

Загальний розв'язок цього лінійного диференційного рівняння другого порядку відомий:

Цей розв'язок має дві довільні величини та , які визначаються початковими умовами і називаються амплітудою і фазою коливань. На відміну від цих двох інтегральних характеристик коливального руху системи величина частоти, що характеризує закон зміни стану системи в часі, не залежить від зовнішніх факторів і визначається виключно внутрішніми властивостями системи (масою та жорсткістю пружини). Саме тому така частота називається власною частотою системи. Приведене диференційне рівняння є математичною моделлю для опису поведінки коливальних систем різної фізичної природи. Узагальнено систему, поведінка якої описується цим рівнянням називають гармонічним осцилятором.

Вільні коливання з демпфуванням[ред. | ред. код]

Механізми розсіяння енергії в коливальних системах можуть бути різними і, відповідно, будуть різними і співвідношення, що визначають як функції параметрів системи. Найчастіше при моделюванні коливальних процесів використовують модель вязкого опору, коли сила опору пропорційна швидкості руху і направлено протилежно швидкості. В цьому випадку в правій частині рівняння(1) слід ввести складову . Тепер рівняння руху для системи з однією ступінню вілбності має вигляд

В залежності від величини опору при постійних інших параметрах системи поведінка системи в процесі повернення до положення рівноваги після початкового збурення буде принципово відрізнятися. На рис. 4 показано процес повернення системи при різних силах опору. Тут використано посудини з вязкими рідинами, причому вязкість правої посудини суттєво (в тричі) більша. На графіках показано зміну в часі величини відхилення вантажу на пружині. Власне коливальний процес спостерігається лише для відносно малої в'язкості. Така поведінка вантажу визначається розв'язками рівняння (4), яке після поділу на величину маси представлено в вигляді

В залежності від відносної величини демпфування в системі будуть реалізовуватися різні типи рухів.

Рис.4.Поведінка системи з однію ступеню вільності при докритичному та при надкритичних рівняхдемпфування
Рис.4 Поведінка системи з однію ступеню вільності при докритичному та при надкритичних рівняхдемпфування

Вимушені коливання[ред. | ред. код]

Лінійні і нелінійні коливальні системи[ред. | ред. код]

Гармонічний осцилятор. Резонанс[ред. | ред. код]

Коливання струни[ред. | ред. код]

При аналізі колвань реальних струн використовуються різні математичні моделі. Основним припущенням при формуванні таких моделей є припущення про суцільність струни, т.б. струна розглядається як система з розподіленими параметрами ( з нескінченним числом ступеней вільності).При моделюванні струна вважається нескінченно тонкою але такою що має масу на одиницю довжини. Відновлювальна сила створюється за рахунок попереднього натягу / Струна має довжину і закріплена від переміщень на кінцях. Якщо для характеристики відхилень точок струни від положення рівноваги використати функцію то то з другого закону Нютона для елемента струни можна одержати диференціальне рівняння руху в частинних похідних [5].Це рівняння є нелінійним, однак для відносно малих відхилень від положень рівноваги рівняння можна лінеаризувати і привести до вигляду:

Тут функція визначає певне зовнішнє навантаження, розподілене вздовж струни при вимушених коливаннях. Якщо такого навантаження не має в струні реалізуються вільні коливання після задання певного початкового збурення. Як вказано при описі системи з двома ступенями вільності при аналізі динаміки коливальної системи важливе значення мають певні періодичні рухи системи -- нормальні коливання. В даному випадку ідеальної струни такі рзвязки рівняння (8) легко знайти. Якщо шукану функцію представити в вигляді то для функції координати маємо звичайне диференціальне рівняння другого порядку

Параметричні коливання[ред. | ред. код]

Основнв стаття Параметричні коливання

До цього розглядалися випадки коливань в системах з фіксованими значеннями фізичних та геометричних параметрів систем. Виявляється, що на харктер коливань системи можна суттєво вплинути не лише за рахунок силових та кінематичних зовнішніх впливів. Цікаві і практично важливі ті віпадки, коли коливання супроводжуються зміною фізичних параметрів системи. Такі випадки визначаються як параметричні коливання. Найпопулярнішим прикладом впливу змін фізичного параметру на характер коливань є коливання гойдалки. В цьому випадку додаткова енергія в коливальну систему надходить за рахунок синхронізованої х коливаннями зміни положення центру ваги ( в даному випадку дитини) як це показано на рис

Розгойдування гойдалки шляхом підйому та опускання центру ваги

. Положення центру ваги відмічено хрестиками. З допомогою цього пристрою легко встановити важливу особливість параметричних коливань Для реалізації параметричних коливань, як і для випадку вимушених коливань необхідно зовнішнєь джерело енергії. Але, на відміну від вимушених коливан, параметричні коливання не можуть виникнути без наявності початкового відхилення від положення рівноваги.

Одним із яскравих прикладів колиавальних систем, в яких періодична зміна параметрів системизумовлює їх незвичну поведінку є так званий маятник Капіци. На рис. приведено зображення одгнієї із можливих конкретних конструкцій маятника Капіци. Це зображення показує, що втакій коливальній системі реалізуютьс коливання математичного (фізичного) маятника, у чкого точка підвісу здійснює коливання впо вертикалі. Захоплюча розповідь продемонстрацію свого маятника П. Л. Капіцею та про важливі висновки про наукову та практичну значимість єфектуЄ що спостерігається належить відомому математику В. І. Арнольду


Модель коливальної системи, відомої як маятник Квпіци

Автоколивання[ред. | ред. код]

В техніці і в природі існує велика кількість дисипативних коливальних ситем, в яких реалізуються специфічний механізм взаємодії з джерелом енергії, за рахунок якого підтримуються незгасаючі періодичні коливання.Такі системи в теорії коливань виділяються в особливу групу автоколивальних систем.[6] Особливості таких ситем можна зрозуміти розглядаючи принципову схему електрозвоника, показану на рис.3.

Рис. 3 Ілюстрація принципу роботи електрозвоника

Перш за все констатуэмо, що коливальна система э десипвтивною. Втрати енергыъ выдбуваються при перемагныченны електромагныту та в підшипнику елемента в системі Джерелом енергії є електрична батарея переривчастий струм в системі забезпечуэться нелыныйним елементом , що періодично розриває електричне коло. Струм в колі відсутній практично весь час поки відхилений стрижень падає під дією сили ваги до початкового горизонтального положення. Це вказує на те, що частота коливань в такій автоколивальній системі визначається внутрішніми властивостями системи, а не властивостями зовнішньог джерела енергії, що спостерігається при вимушених коливаннях.

Посилання[ред. | ред. код]

Коливання можуть мати найрізноманітнішу природу, наприклад, механічні коливання тіл, коливання тиску й температури, сили струму, напруги тощо. Саме завдяки коливальному руху частинок рідин, газів та пружних тіл формуються хвильові поля і виникає звук.

Коливання, для яких залежність змінної від часу описується синусоподібною кривою, називаються гармонічними. Періодичні коливання із іншою залежністю від часу називаються ангармонічними.


Вільні коливання виконує система, до якої не підводиться зовні енергія в процесі коливань. Енергія коливального процесу підводиться за рахунок роботи, виконаної при початковому виведенні системи із положення рівноваги. Якщо при цьому система не витрачає своєї енергії, то її повна енергія залишається весь час сталою і коливання не будуть згасати.

Якщо ж енергія системи зменшується, наприклад через виконання роботи проти зовнішніх сил або за рахунок втрат при деформації елементів системи, то коливання будуть загасати.

Вимушені коливання підтримуються періодичним підведенням енергії ззовні для компенсації втрат. Коливання не будуть згасати.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Р. Бишоп, Колебания, Москва, Наука, 1979, 160 с.https://sheba.spb.ru/vuz/kolebania-1968.htm
  2. Л. И. Мандельштам, Лекции по теории колебаний, Москва, Наука, 1972, 470 с.http://rk5.msk.ru/books/Teor_Kolebaniy/Mandelshtam_lecture.pdf
  3. Механічні коливання і хвилі. Конспект лекцій, Суми, Вид-во Сум ДУ, 2007, 75 с.http://ignatenko.sumdu.edu.ua/wp-content/uploads/%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F.pdf
  4. Грінченко В. Т., . Вовк І. В., Маципура В. Т. Основи акустики: Навчальний посібник. — К.: Наукова думка, 2007. — 640 с. — ISBN 978-966-00-0622-5
  5. Грінченко В. Т., . Вовк І. В., Маципура В. Т. Основи акустики: Навчальний посібник. — К.: Наукова думка, 2007. — 640 с. — ISBN 978-966-00-0622-5
  6. Харкевич А. А., Автоколебания, --Москва, Гостехиздат,1954, --170 с.http://www.studmed.ru/download/harkevich-aa-avtokolebaniya_28dcc385807.html

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Коливання та хвилі : підруч. для студ. вищ. навч. закл. / І. О. Анісімов ; М-во освіти і науки України, Київ. нац. ун-т ім. Т. Шевченка. – 2-ге вид., переробл. і доповн. – К. : ВПЦ "Київ. ун-т", 2009. – 399 с. : іл. – Бібліогр.: с. 384 (11 назв). – ISBN 978-966-439-177-8

І. В. Савельєв «Курс загальної фізики» Книга 1 «Механіка» , 2000

Посилання[ред. | ред. код]