Другий закон Ньютона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Класична механіка

Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки

Другий закон Ньютона — диференціальний закон механічного руху, що описує залежність прискорення тіла від рівнодійної всіх прикладених до тіла сил і маси тіла. Один з трьох законів Ньютона. Основний закон динаміки[1][2][3].

Об'єктом (тілом), про яке йдеться в другому законі Ньютона, є матеріальна точка, яка має невід'ємну властивість — інерцію[4], величина якої характеризується масою. У класичній (ньютонівській) механіці маса матеріальної точки вважається сталою в часі і не залежною від будь-яких особливостей її руху і взаємодії з іншими тілами[5][6][7][8].

Другий закон Ньютона в його найпоширенішому формулюванні, справедливому для швидкостей, значно менших від швидкості світла, стверджує: в інерційних системах відліку прискорення, якого набуває матеріальна точка, прямо пропорційне силі, що його викликає, і не залежить від її природи[9], збігається з нею за напрямком і обернено пропорційне масі матеріальної точки[10].

Другий закон Ньютона в класичній механіці[ред. | ред. код]

Можливі формулювання[ред. | ред. код]

Зміна кількості руху пропорційна прикладеній рушійній силі і відбувається у напрямку тієї прямої, вздовж якої ця сила діє.

  • Сучасне формулювання:

В інерційних системах відліку прискорення, якого набуває матеріальна точка, прямо пропорційне силі, що його викликає, збігається з нею за напрямком і обернено пропорційне масі матеріальної точки.

Зазвичай цей закон записується у вигляді формули
де  — прискорення тіла,  — сила, прикладена до тіла, а  — маса тіла.
Або в іншому вигляді:
  • Формулювання другого закону Ньютона з використанням поняття імпульсу :

В інерційних системах відліку похідна імпульсу матеріальної точки за часом дорівнює силі, що діє на неї[12]:

де  — імпульс (кількість руху) точки,  — її швидкість, а  — час.

Область застосування закону[ред. | ред. код]

Другий закон Ньютона в класичній механіці сформульований стосовно руху матеріальної точки. Передбачається, що маса матеріальної точки незмінна в часі[13][14][15]. Рівняння, відповідні даному закону, називаються рівняннями руху матеріальної точки або основними рівняннями динаміки матеріальної точки.

Іноді в рамках класичної механіки були спроби поширити сферу застосування рівняння і на випадок тіл змінної маси. Однак разом з таким розширювальним тлумаченням рівняння доводилося істотно змінювати прийняті раніше визначення і зміст таких фундаментальних понять, як матеріальна точка, імпульс і сила[16][17].

У разі, коли на матеріальну точку діє декілька сил, кожна з них надає точці прискорення, яке визначається другим законом Ньютона так, ніби інших сил немає (принцип незалежності дії сил). Тому кінцеве прискорення матеріальної точки можна визначити за другим законом Ньютона, підставивши у нього рівнодійну силу.

Рівняння другого закону Ньютона припускає скалярну адитивність мас[18].

Крім матеріальної точки, рівняння другого закону Ньютона можна застосувати також для опису механічного руху центра мас механічної системи. Центр мас рухається, як матеріальна точка, яка має масу, рівну масі всієї системи, і яка перебуває під дією всіх зовнішніх сил, прикладених до точок системи (теорема про рух центра мас системи).

Другий закон Ньютона виконується тільки в інерційних системах відліку[19][20]. Проте, додаючи до сил, що діють з боку інших тіл, сили інерції, для опису руху в неінерційних системах відліку можна користуватися рівнянням другого закону Ньютона[21]. В такому випадку для неінерційної системи відліку рівняння руху записується в тій самій формі, що й для інерційної системи: маса тіла, помножена на його прискорення відносно неінерційної системи відліку, дорівнює за величиною і напрямком рівнодійній всіх сил, включно із силами інерції, прикладеними до тіла[22][23].

Логічна роль другого закону Ньютона[ред. | ред. код]

У ньютонівському викладі класичної механіки закони Ньютона нізвідки не «виводяться», вони мають статус аксіом, що ґрунтуються на сукупності експериментальних фактів. Як і аксіоми математики, аксіоми ньютонівської динаміки можна сформулювати трохи по-різному.

За одного підходу другий закон Ньютона позиціюється як експериментально перевірюване твердження про пропорційність прискорення силі, що його викликає і, одночасно, визначення інертною маси тіла через відношення величин сили і прискорення[24][25]. Тоді основна ідея другого закону полягає в декларації лінійності співвідношення «сила-прискорення», тобто що саме ці величини (а не, скажімо, сила і швидкість) і саме таким чином (а не квадратично тощо) пов'язані між собою.

За іншого підходу можна ввести інертну масу незалежно від другого закону Ньютона, через масу певного тіла, прийнятого за еталон. Тоді другий закон містить два незалежно експериментально перевірюваних твердження: про пропорційність прискорення силі і обернену пропорційність масі[26].

У багатьох практичних і навчальних задачах другий закон Ньютона дозволяє обчислювати силу. Але цей закон не є дефініцією сили[27] (вислів на зразок «за визначенням, сила є добуток маси на прискорення» недоречний), інакше він перетворився б на тавтологію.

У разі відсутності впливу на тіло з боку інших тіл (), з другого закону Ньютона випливає, що прискорення тіла дорівнює нулю. Звідси може здатися, що перший закон Ньютона входить у другий як його окремий випадок. Однак, це не так, оскільки саме першим законом постулюється існування інерційних систем відліку, що є самостійним змістовним твердженням. Відповідно, перший закон Ньютона формулюється незалежно від другого[28].

Другий закон Ньютона встановлює зв'язок між динамічними і кінематичними величинами[29]. Крім того, рівняння закону може розглядатися як рівняння зв'язку між фізичними величинами під час визначення одиниць сили в системах СІ, СГС та інших[30]. Одиниця сили визначається як така сила, яка матеріальній точці з масою, що дорівнює одиниці маси, прийнятої за основну, надає прискорення, рівне одиниці прискорення, визначеній раніше за похідну одиницю[31]. (За незалежного вибору одиниць маси, сили і прискорення вираз другого закону потрібно писати у вигляді , де  — коефіцієнт пропорційності, який визначається вибором одиниць вимірювання[32][33][34][35]).

Сила у другому законі Ньютона залежить тільки від координат і швидкості матеріальної точки: . Основне завдання фізичної механіки зводиться до знаходження функції [36].

Формула другого закону Ньютона виражає принцип причинності класичної механіки. Координати й швидкість матеріальної точки в момент часу (де ) неперервно й однозначно визначаються через їх значення в момент часу і задану силу , що діє на матеріальну точку. Розкладаючи в ряд Тейлора і обмежуючись малими першого порядку за , Отримуємо[37]: , . Форма, в якій у механіці реалізується причинність, називається механістичним або лапласівським детермінізмом[38].

Рівняння другого закону Ньютона інваріантне відносно перетворень Галілея. Це твердження називається принципом відносності Галілея[39].

У класичній механіці закон збереження енергії, закон збереження імпульсу і закон збереження моменту імпульсу є наслідками другого закону Ньютона, однорідності часу, однорідності й ізотропності простору, а також деяких припущень щодо характеру сил, які діють[40].

У разі, коли сила стала, інтегрування рівняння другого закону Ньютона приводить до рівності . Це співвідношення показує, що під дією заданої сили певна зміна швидкості у тіла з більшою масою відбувається за більш тривалий проміжок часу. Тому кажуть, що всі тіла володіють інерцією, а масу називають мірою інерції тіла[41].

Запис закону в різних системах координат[ред. | ред. код]

Векторний запис другого закону Ньютона істинний для будь-якої інерціальної системи координат, відносно якої визначаються величини, що входять до цього закону (сила, маса, прискорення)[42]. Однак, розклади на компоненти (проекції) будуть різними для декартової, циліндричної і сферичної систем. Інтерес також являє розклад на нормальну і тангенціальну складові.

, , , де , а орти декартової системи , , спрямовані вздовж осей координат (у бік зростання конкретної координати).

, , , де , а орти , , циліндричної системи беруться в точці прикладання сили і спрямовані, відповідно, від осі під 900 до неї, по колу в площині з центром на осі, і вздовж (у бік зростання конкретної координати).

, , , де , а орти , , сферичної системи беруться в точці прикладання сили і спрямовані, відповідно, від центру , вздовж «паралелей», і вздовж «меридіанів» (у бік зростання конкретної координати).

У дотичній площині прискорення матеріальної точки масою і силу , що діє на неї, можна розкласти на нормальну (перпендикулярну до дотичної до траєкторії в дотичній площині) і тангенціальну (паралельну дотичній до траєкторії в дотичній площині) складові.

Абсолютна величина нормальної сили дорівнює , де  — радіус кривини траєкторії матеріальної точки,  — абсолютна величина її швидкості. Нормальна сила спрямована до центру кривини траєкторії матеріальної точки. У разі кругової траєкторії радіуса абсолютна величина нормальної сили , де  — кутова швидкість обертання точки. Нормальну силу також називають доцентровою.

Тангенціальна складова сили дорівнює , де  — дугова координата за траєкторією точки[43]. Якщо , то сила збігається за напрямком з вектором швидкості і її називають рушійною силою. Якщо , то сила протилежна за напрямком до вектора швидкості і її називають гальмівною силою.

Другий закон за межами класичної механіки[ред. | ред. код]

У релятивістській динаміці[ред. | ред. код]

Другий закон Ньютона у вигляді наближено справедливий тільки для швидкостей, значно менших від швидкості світла, і в інерційних системах відліку.

У вигляді другий закон Ньютона точно справедливий також в інерційних системах відліку спеціальної теорії відносності і в локально інерційних системах відліку загальної теорії відносності, однак при цьому замість колишнього виразу для імпульсу використовується рівність , де  — швидкість світла[44].

Існує і чотиривимірне релятивістське узагальнення другого закону Ньютона. Похідна чотириімпульсу за власним часом матеріальної точки дорівнює чотирисилі [45]:

.

У релятивістській динаміці вектор тривимірного прискорення вже не паралельний вектору тривимірної сили [46].

У квантовій механіці[ред. | ред. код]

Закони ньютонівської динаміки, зокрема другий закон Ньютона, незастосовні, якщо довжина хвилі де Бройля даного об'єкта порівнянна з характерними розмірами області, в якій вивчається його рух. У цьому випадку необхідно користуватися квантовомеханічними законами[47].

Проте, другий закон Ньютона за певних умов актуальний стосовно руху хвильового пакета у квантовій механіці. Якщо потенціальна енергія хвильового пакета дуже мала змінюється в області знаходження пакета, то похідна за часом середнього значення імпульсу пакета буде дорівнювати силі, що розуміється як градієнт потенціальної енергії, узятий з протилежним знаком (теорема Еренфеста).

Видозмінений другий закон Ньютона використовується й у квантовомеханічному описі руху електронів у кристалічній ґратці. Взаємодія електрона з періодичним електромагнітним полем решітки при цьому враховується введенням поняття ефективної маси.

У квантовій механіці, для опису руху матеріальної точки в потенціальному полі, справедливе операторне рівняння, яке за формою збігається з рівнянням другого закону Ньютона: . Тут:  — маса частинки,  — оператор швидкості,  — оператор імпульсу,  — оператор потенціальної енергії[48].

Науково-історичне значення закону[ред. | ред. код]

Оцінюючи значення другого закону Ньютона, А. Ейнштейн писав:

Диференціальний закон є тією єдиною формою причинного пояснення, яка може повністю задовольняти сучасного фізика. Ясне розуміння диференціального закону є одним з найбільших духовних досягнень Ньютона… Тільки перехід до розгляду явища за нескінченно малий час (тобто до диференціального закону) дозволив Ньютону дати формулювання, придатне для опису будь-якого руху… Так Ньютон прийшов… до встановлення знаменитого закону руху:
Вектор прискорення × Маса = Вектор сили.
Це — фундамент всієї механіки і, напевно, всієї теоретичної фізики.

— Эйнштейн А. Собрание научных трудов. — Москва: Наука, 1967. — Т. 4. — С. 82, 92. — 599 с. — 31 700 прим.


Всі закони природи для сил залежно від властивостей тіл, їх станів і рухів отримуються з дослідів і встановлюються завжди і тільки на основі розв'язання рівняння , яке вживається для вираження сили[49].

Лагранжове і гамільтонове узагальнення закону[ред. | ред. код]

В аналітичній механіці існує два аксіоматичні підходи. За одного підходу за аксіому приймається другий закон Ньютона і з нього виводяться рівняння Лагранжа[ru]. За іншого підходу за аксіому приймаються рівняння Лагранжа. Тоді другий закон Ньютона розглядається як наслідок з них[50].

З рівнянь Лагранжа для довільної голономної системи[ru], на яку діють як потенціальні (), так і не потенціальні () узагальнені сили[ru], випливає, що похідна за часом узагальненого імпульсу дорівнює сумарній узагальненій силі :

.

Записані так у декартових координатах рівняння Лагранжа називаються рівняннями руху у формі Ньютона[51].

Теорема про зміну узагальненого імпульсу узагальнює і включає як окремі випадки теореми ньютонівської динаміки про зміну кількості руху і про зміну кінетичного моменту[52].

В гамільтонівській динаміці

,

де, як і вище,  — узагальнений імпульс, через позначена функція Гамільтона, а  — лагранжіан, тобто різниця кінетичної і потенціальної енергій системи.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Г. А. Бугаенко, В. В. Маланин[ru], В. И. Яковлев[ru] Основы классической механики. — Москва, Высшая школа[ru], 1999. — ISBN 5-06-003587-5 — Тираж 3000 прим. — c. 43
  2. Кузнецов Б. Г. Основные принципы физики Ньютона // отв. ред. Григорьян А. Т.[ru], Полак Л. С.[ru] Очерки развития основных физических идей. — М., АН СССР, 1959. — Тираж 5000 экз. — с. 188;
  3. Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Коваленко М. В., Федорченко Н. П., Фисенко Н. И. Теоретическая механика. — М., ТрансЛит, 2012. — ISBN 978-5-94976-455-8. — Тираж 1000 экз. — с. 249
  4. Те саме, що й інертність. Див. статтю "Инерция" у Фізичній енциклопедії
  5. «Додатковою характеристикою (порівняно з геометричними характеристиками) матеріальної точки є скалярна величина m — маса матеріальної точки, яка, загалом, може бути як постійною, так і змінною величиною… В класичній ньютонівській механіці матеріальна точка зазвичай моделюється геометричною точкою з властивою їй постійною масою, яка є мірою її інерції.» стор. 137 Седов Л. И.[ru], Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. Москва: Наука, 1989.
  6. Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М. : ЧеРО, 1999. — С. 87. — 572 с. «Маса матеріальної точки вважається сталою величиною, що не залежить від обставин руху».
  7. Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. — М. : МГУ, 2000. — С. 160. — 720 с. — ISBN 5-211-04244-1. «Аксіома 3.3.1. Маса матеріальної точки зберігає своє значення не тільки в часі, але і за будь-яких взаємодій матеріальної точки з іншими матеріальними точками незалежно від їх числа і від природи взаємодій».
  8. Тарг С. М.[ru]. Краткий курс теоретической механики. — М. : Высшая школа, 1995. — С. 287. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9. «У класичній механіці маса кожної точки або частинки системи вважається під час руху величиною постійною»
  9. Бутиков Е. И., Быков А. А., Кондратьев А. С.[ru] Физика для поступающих в вузы. — М.: Наука, 1982. — С.39.
  10. Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 107
  11. Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии. — М. : Наука, 1989. — С. 40. — 690 с. — («Классики науки»). — 5 000 экз. — ISBN 5-02-000747-1.
  12. Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М. : Физматлит; изд-во МФТИ, 2005. — Т. I. Механика. — С. 76. — 560 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
  13. Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М. : ЧеРО, 1999. — С. 254. — 572 с. «…другий закон Ньютона справедливий тільки для точки постійного складу. Динаміка систем змінного складу вимагає особливого розгляду».
  14. Иродов И. Е. Основные законы механики. — М. : Высшая школа, 1985. — С. 41. — 248 с.«У ньютонівській механіці… m=const і dp/dt=ma».
  15. Kleppner D., Kolenkow R. J. An Introduction to Mechanics. — McGraw-Hill, 1973. — P. 112. — ISBN 0-07-035048-5. «Для частинки в ньютонівській механіці, M є константою і (d/dt)(Mv) = M(dv/dt) = Ma».
  16. Зоммерфельд А. Механика = Sommerfeld A. Mechanik. Zweite, revidierte Auflage, 1944. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — С. 45-46. — 368 с. — ISBN 5-93972-051-X.
  17. Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. Том 1. — М.: Наука, 1977. 480 с.
  18. Орир Дж. Физика // М., Мир, 1981. — Тираж 75 000 экз. — Том 1. — с. 54
  19. Савельев И. В.[ru] Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 118
  20. Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 289
  21. Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 118—119
  22. Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 291
  23. Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 119
  24. Ландсберг Г. С. Элементарный учебник физики. Том 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1975. — C. 106
  25. Хайкин С. Э.[ru] Физические основы механики. — М.: Физматгиз, 1963. — C. 104
  26. Бутиков Е. И., Быков А. А., Кондратьев А. С. Физика для поступающих в вузы. — М.: Наука, 1982. — С. 30.
  27. Р. Ф. Фейнман Фейнмановские лекции по физике. Том I. Современная наука о природе Законы механики. — М.: Наука, 1978. — С. 209—210.
  28. Савельев И. В. Курс общей физики. Том 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — C. 54
  29. Селезнев Ю. А. Основы элементарной физики. — М., Наука, 1966. — Тираж 100 000 экз. — с. 40
  30. Г. Д. Бурдун, Б. Н. Марков Основы метрологии. — М.: Издательство стандартов, 1972. — Тираж 30 000 экз. — С. 49.
  31. Сена Л. А.[ru] Единицы физических величин и их размерности. — М.: Наука, 1977. — С. 24.
  32. Савельев И. В. Курс общей физики / 2-е вид., перероб. — М. : Наука, 1982. — Т. 1. Механика. Молекулярная физика. — С. 54. — 432 с.
  33. Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. — М. : Наука, 1969. — С. 22. — 304 с.
  34. Мултановский В.В. Курс теоретической физики: Классическая механика. Основы специальной теории относительности. Релятивистская механика. — М. : Просвещение, 1988. — С. 73. — 304 с. — ISBN 5-09-000625-3.
  35. «Не следует смешивать понятия силы и произведения массы на ускорение, которому она равна» (Фок В.А. Механика. Рецензия на книгу: Л. Ландау и Л. Пятигорский. Механика. (Теоретическая физика под общей редакцией проф. Л.Д. Ландау, т. I). Гостехиздат. Москва — Ленинград, 1940 // УФН. — 1946. — Т. 28, вип. 2–3. — С. 377–383.).
  36. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. — М., Наука, 1979. — Тираж 50 000 экз. — с. 71-72
  37. Р. Ф. Фейнман Фейнмановские лекции по физике. Том I. Современная наука о природе Законы механики. — М.: Наука, 1978. — С. 164.
  38. Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. ISBN 5-06-003587-5 — Тираж 3 000 экз. — С. 47.
  39. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. — М., Наука, 1979. — Тираж 50 000 экз. — с. 94
  40. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. — М., Наука, 1979. — Тираж 50 000 экз. — с. 199
  41. Жирнов Н. И. Классическая механика. — М., Просвещение, 1980. — с. 34-35
  42. Р. Неванлинна Пространство, время и относительность. — М., Мир, 1966. — c. 202
  43. Тарасов В. Н., Бояркина И. В., Коваленко М. В. Теоретическая механика. — М., ТрансЛит, 2012. — ISBN 978-5-94976-455-8. — с. 254
  44. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. — М.: Наука, 1987. — С. 237.
  45. Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 347. — ISBN 5-06-003587-5
  46. Кычкин И. С., Сивцев В. И. Школьная физика: второй закон Ньютона // Международный журнал экспериментального образования. — 2016. № 3-2. — С. 194—197.
  47. Бутиков Е. И., Быков А. А., Кондратьев А. С. Физика для поступающих в вузы. — М.: Наука, 1982. — С. 544.
  48. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Квантовая механика. — М., Наука, 1972. — с. 76
  49. Седов Л. И.Методы подобия и размерности в механике. — М.: Гостехтеориздат, 1954. — С. 21 — 28.
  50. Айзерман М. А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — Тираж 17 500 экз. — С. 164—165
  51. Медведев Б. В. Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики. — М.: Физматлит, 2007. — ISBN 978-5-9221-0770-9 — С. 38.
  52. Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 247. — ISBN 5-06-003587-5

Посилання[ред. | ред. код]