Симетрична різниця множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Діаграма Ейлера — Венна для симетричної різниці

Теоретико-множинні операції

доповнення

об'єднання
перетин

різниця

симетрична різниця
декартів добуток



Симетрична різниця двох множин — теоретико-множинна операція, результатом якої є нова множина, що включає всі елементи вихідних множин, які не належать одночасно обом вихідним множинам. Іншими словами, якщо є дві множини A і B, їх симетрична різниця є об'єднання елементів A, що не входять в B, з елементами B не членами A. На письмі для позначення симетричної різниці множин A і B використовується позначення A △ B.

В математиці та теорії множин, симетричною різницею двох множин є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох.

Визначення[ред.ред. код]

Симетричну різницю можна визначити двома способами:

  • симетрична різниця двох заданих множин А та В — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи першої множини, які не входять в другу множину, а, також ті елементи другої множини, які не входять в першу множину:
  • симетрична різниця двох заданих множин A і B — це така множина A △ B, куди входять всі ті елементи обох множин, які не є загальними для двох заданих множин.

Властивості[ред.ред. код]

  • Симетрична різниця є бінарною операцією у будь-якому булеані;
  • Симетрична різниця є комутативною:
  • Симетрична різниця є асоціативною:
  • Перетин множин  є дистрибутивним відносно симетричної різниці:
  • Порожня множина є нейтральним елементом симетричної різниці:  
  • Будь-яка множина обернена сама собі відносно операції симетричної різниці:
  • Булеан з операцією симетричної різниці є абелевою групою;
  • Об'єднання симетричної різниці з перетином двох множин дорівнює об'єднанню вихідних множин ;
  • Між симетричною різницею та об'єднанням множин такий зв'язок:

Приклади[ред.ред. код]

Симетрична різниця AΔB

1. Нехай

Тоді

2. Симетрична різниця множини усіх студентів та усіх осіб жіночої статі, містить множину усіх студентів-чоловіків та усіх жінок, які не є студентами.

Дивитися також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]