Ґратка (порядок)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ґратка розбиття множини

Ґратка (або решітка) — частково впорядкована множина, в якій для кожної пари елементів існує супремум та інфімум.

«Ґратко-подібними» структурами є напівґратки, ґратки, булеві алгебри, алгебри Гейтінга.

Всіх їх можна визначити і як алгебраїчні структури, тому теорія ґраток є частиною як теорії порядку так і універсальної алгебри.

Напівґратка[ред.ред. код]

Напівґратка — частково впорядкована множина, в якій визначена операція join (join-напівґратка) або операція meet (meet-напівґратка).

Бінарні операції join та meet, позначаються та відповідно; очевидно, що вони є комутативними, асоціативними та ідемпотентними операціями.

Обидві операції є монотонними по відношенню до порядку, тобто:

із та випливає та

Ґратка є одночасно join-напівґраткою та meet-напівґраткою.

Операцію join також можна визначити як бінарну операцію супремум(x, y), а операцію meet — інфімум(x, y). В такому разі join-напівгратку називають верхньою піврешіткою, а meet-напівгратку відповідно нижньою.[Джерело?]

Тому означення:

Ґратка, як алгебраїчна структура[ред.ред. код]

Дистрибутивна ґратка
всіх дільників числа 60, впорядкованих за подільністю.

Ґратка може бути визначена як алгебраїчна система з двома бінарними операціями (позначаються та ), що задовольняють тотожностям:

(комутативність)
(асоціативність)
(закон поглинання)

Із закону поглинання слідує не тільки:

(ідемпотентність)

але і показується дуальність операцій та , що обумовлено дуальністю супремума та інфімума.

-ґратка — упорядкована множина, що містить точні межі всіх своїх скінченних і обмежених зліченних підмножин[1].

-ґратка — упорядкована множина, що містить точні межі всіх своїх скінченних зліченних підмножин.

Обмежена ґратка — ґратка, в якій існує найбільший та найменший елемент, позначаються та відповідно. Довільну ґратку можна зробити обмеженою доповнивши її елементами та .

Очевидно що всі скінченні ґратки є обмеженими.

Доповнена ґратка — обмежена ґратка, в якій для кожного елемента a існує доповнення, тобто елемент b такий, що:

Дистрибутивна ґратка — ґратка, що задовольняє властивість:

(дистрибутивність)

Булева алгебра — доповнена дистрибутивна ґратка.

Дистрибутивна напівґратка

Напівґратка теж може бути дистрибутивною: meet-напівґратка є дистрибутивною якщо для всіх a, b, та x:

Якщо abx тоді існують a' and b' такі, що aa' , bb' та x = a'b' .

Модулярна ґратка — для довільного виконується

Властивості[ред.ред. код]

  • Для довільного виконується
доводиться обчисленням виразу при: та

Приклади[ред.ред. код]

Діаграма впорядкування за включенням підмножин множини з трьох елементів.
  1. множина всіх підмножин даної множини, впорядкована за включенням; ;
  2. будь-яка лінійно впорядкована множина; причому якщо , то ;
  3. множина всіх підпросторів векторного простору, упорядкованих за включенням, де  — перетин, а  — сума відповідних підпросторів;
  4. множина всіх невід'ємних цілих чисел, упорядкованих за подільністю: , якщо для деякого . Тут  — найменше спільне кратне, а  — найбільший спільний дільник даних чисел;
  5. дійсні функції, визначені на проміжку [0, 1], впорядковані умовою , якщо для всіх . тут
, де .

Частковий порядок[ред.ред. код]

На ґратці також визначене бінарне відношення ≤, яке має назву відношення нестрогого порядку та відповідає умовам:

Зв'язок між різними визначеннями встановлюється формулами:

ab = sup{a, b}, ab = inf{a, b}.

Та виконанням умови: якщо ab, то: a ∧ b = a, ab = b.

Теорема Стоуна[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Юрачківський А. П. Начала функціонального аналізу і теорії інтеграла. — К., 2012. — 243 с.

Джерела[ред.ред. код]

  • Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
  • Скорняков Л. А. Элементы теории структур. — М., 1970.
  • Гретцер Г. Общая теория решёток. — М.: Мир, 1982. — 456 с.