Модель Блека

Модель Блека (іноді модель Блека-76) — це варіація моделі оцінки вартості опціонів Блека-Шоулза. Призначена для оцінки вартості облігаційних опціонів, верхніх і нижніх обмежень відсоткових ставок a також свопціонів. Вперше описана у статті Фішера Блека в 1976 році.

Модель Блека можна узагальнити класом моделей відомих як логнормальних форвардних моделей, які ще називають моделі LIBOR ринку.

Формула Блека

Формула Блека подібна до формули Блека-Шоулза для оцінки вартості опціонів, де замість тепеперішньої ціни (ціни спот) базового активу використовують дисконтовану ціну фючерсного контракту F.

Припустимо r безризикова відсоткова ставка і ціна ф'ючерсного контракту F(t) певного базового активу задається логнормальним розподілом зі сталою волатильністю σ. Тоді формула Блека задає ціну європейського кол опціону з часом до виконання T на ф'ючерсний контракт з ціною виконання K і часом поставки T' (де$T'\geq T$) як

$c=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]$

Відповідна ціна пут опціону

$p=e^{-rT}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]$

де

$d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}$

$d_{2}={\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}},$

та N(.) — функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини.

Зауважте, що обидві ціни не залежать від T' навіть якщо T' більше ніж T. Це пояснюється тим, що ф'ючерсний контракт звіреється ринку і в результаті виплата здійснюється при виконанні опціону. Якщо розглянути опціон га форвардний контракт, що підписаний на час T' > T, то виплата не здійснюється аж до часу T' . Тому дисконтний множник $e^{-rT}$ змінюється множником $e^{-rT'}$ оскільки потрібно врахувати вартість грошей в часі. Різниця між форвардом і ф'ючерсом можна помітити при виведенні нижче.

Виведення та припущення

Формулу Блека можна легко отримати з формули Марґрабе, яка в свою чергу є простим і кмітливим застосуванням формули Блека-Шоулза.

Виплата кол опціону на ф'ючерсний контракт дорівнює max (0, F(T) — K). Можна розглянути обмінний (Марґрабе) опціон де за перший актив взяти $e^{-r(T-t)}F(t)$, a за другий актив взяти безризикову облігацію за якою покупець отримує $1 в час T. Тоді кол опціон виконують в час T якщо перший актив вартує більше ніж K безризикових облігацій. Припущення Марґрабе виконуються для таких інструментів.

Залишається показати що перший інструмент є активом. Це можна показати розглянувши портфоліо утворене в час 0 купівлею форвардного контракту з доставкою в час T і продажем F(0) безризикових облігацій (зауважте, що при the визначеній нестохастичній відсотковій ставці вартість ф'ючерса і форварда однакова, тому тут все визначено). Далі в довільний час t можна позбутися облігації для форвардного контракту продаючи новий форвард з такою ж датою доставки щоб отримати різницю цін форвардів дисконтованих до теперішньої вартості: $e^{-r(T-t)}[F(t)-F(0)]$. Ліквідучи F(0) безризикових облігацій, кожна вартістю $e^{-r(T-t)}$, дає в результаті прибуток $e^{-r(T-t)}F(t)$.

Див. також

• Фінансова математика

Посилання

Обговорення

• Bond Options, Caps and the Black Model [Архівовано 27 вересня 2011 у Wayback Machine.] Dr. Milica Cudina, University of Texas at Austin

Інструменти в мережі

• Caplet And Floorlet Calculator Dr. Shing Hing Man, Thomson-Reuters' Risk Management
• 'Greeks' Calculator using the Black model, Razvan Pascalau, Univ. of Alabama

Джерела

• Black, Fischer (1976). The pricing of commodity contracts, Journal of Financial Economics, 3, 167—179. (англ.)
• Garman, Mark B. and Steven W. Kohlhagen (1983). Foreign currency option values, Journal of International Money and Finance, 2, 231—237. (англ.)
• Miltersen, K., Sandmann, K. et Sondermann, D., (1997): «Closed Form Solutions for Term Structure Derivates with Log-Normal Interest Rates», Journal of Finance, 52(1), 409—430. (англ.)