Модель Блека

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Модель Блека (іноді модель Блека-76) — це варіяція моделі оцінки вартості опціонів Блека-Шоулза. Призначена для оцінки вартості облігаційних опціонів, вехніх і нижніх обмежень відсоткових ставок a також свопціонів. Вперше описана у статті Фішера Блека в 1976 році.

Модель Блека можна узагальнити класом моделей відомих як логнормальних форвардних моделей, які ще називають моделі LIBOR ринку.

Формула Блека[ред.ред. код]

Формула Блека подібна до формули Блека-Шоулза для оцінки вартості опціонів, де замість тепеперішньої ціни (ціни спот) базового активу використовують дисконтовану ціну фючерсного контракту F.

Припустимо r безризикова відсоткова ставка і ціна ф'ючерсного контракту F(t) певного базового активу задається логнормальним розподілом зі сталою волатильністю σ. Тоді формула Блека задає ціну європейського кол опціону з часом до виконання T на ф'ючерсний контракт з ціною виконання K і часом поставки T' (деT' \geq T) як

 c = e^{-r T} [FN(d_1) - KN(d_2)]

Відповідна ціна пут опціону

 p = e^{-r T} [KN(-d_2) - FN(-d_1)]

де

 d_1 = \frac{\ln(F/K) + (\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}
 d_2 = \frac{\ln(F/K) - (\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} = d_1 - \sigma\sqrt{T},

та N(.) — функція розподілу нормально розподіленої випадкової величини.

Зауважте, що обидві ціни не залежать від T' навіть якщо T' більше ніж T. Це пояснюється тим, що ф'ючерсний контракт звіреється ринку і в результаті виплата здійснюється при виконанні опціону. Якщо розглянути опціон га форвардний контракт, що підписаний на час T' > T, то виплата не здійснюється аж до часу T' . Тому дисконтний множник  e^{-rT} змінюється множником  e^{-rT '} оскільки потрібно врахувати вартість грошей в часі. Різниця між форвардом і ф'ючерсом можна помітити при виведенні нижче.

Виведення та припущення[ред.ред. код]

Формулу Блека можна легко отримати з формули Марґрабе, яка в свою чергу є простим і кмітливим застосуванням формули Блека-Шоулза.

Виплата кол опціону на ф'ючерсний контракт дорівнює max (0, F(T) - K). Можна розглянути обмінний (Марґрабе) опціон де за перший актив взяти e^{-r(T-t)}F(t), a за другий актив взяти безризикову облігацію за якою покупець отримує $1 в час T. Тоді кол опціон виконують в час T якщо перший актив вартує більше ніж K безризикових облігацій. Припущення Марґрабе виконуються для таких інструментів.

Залишається показати що перший інструмент є активом. Це можна показати розглянувши портфоліо утворене в час 0 купівлею форвардного контракту з доставкою в час T і продажем F(0) безризикових облігацій (зауважте, що при the визначеній нестохастичній відсотковій ставці вартість ф'ючерса і форварда однакова, тому тут все визначено). Далі в довільний час t можна позбутися облігації для форвардного контракту продаючи новий форвард з такою ж датою доставки щоб отримати різницю цін форвардів дисконтованих до теперішньої вартості: e^{-r(T-t)}[F(t) - F(0)]. Ліквідучи F(0) безризикових облігацій, кожна вартістю e^{-r(T-t)}, дає в результаті прибуток e^{-r(T-t)}F(t).

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Обговорення

Інструменти в мережі

Джерела[ред.ред. код]

  • Black, Fischer (1976). The pricing of commodity contracts, Journal of Financial Economics, 3, 167-179. (англ.)
  • Garman, Mark B. and Steven W. Kohlhagen (1983). Foreign currency option values, Journal of International Money and Finance, 2, 231-237. (англ.)
  • Miltersen, K., Sandmann, K. et Sondermann, D., (1997): "Closed Form Solutions for Term Structure Derivates with Log-Normal Interest Rates", Journal of Finance, 52(1), 409-430. (англ.)