Векторне числення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Векторне числення — область математичного аналізу, в якій вивчаються скалярні і векторні поля.

Основною теоремою векторного числення є Теорема Стокса.

Багато результатів векторного числення можуть бути представлені як часткові випадки диференціальної геометрії.

Основні операції над полями[ред.ред. код]

Основні формули векторного числення[ред.ред. код]

Для довільних векторних полів  \mathbf{a} та  \mathbf{b} і довільних склярних полів  \varphi та  \xi

  •  \text{rot}\; \nabla \varphi = 0
  •  \text{div}\;\text{rot}\; \mathbf{a} = 0
  •  \text{rot}\;\text{rot}\; \mathbf{a} = \nabla \text{div}\; \mathbf{a} - \Delta \mathbf{a}
  •  \nabla(\varphi \xi) = \varphi \nabla \xi + \xi \nabla \varphi
  •  \text{div}\; (\varphi \mathbf{a}) = \varphi \text{div}\; \mathbf{a} + \mathbf{a} \cdot \nabla \varphi
  •  \text{rot}\; (\varphi \mathbf{a}) = \varphi \text{rot}\;\mathbf{a} + [\nabla \varphi \times \mathbf{a}]
  •  \text{div}\; [ \mathbf{a} \times \mathbf{b}] = \mathbf{b} \cdot \text{rot}\;\mathbf{a} - \mathbf{a}\cdot\text{rot}\;\mathbf{b}
  •  \nabla (\mathbf{a} \cdot  \mathbf{b}) = (\mathbf{a} \cdot \nabla) \mathbf{b} + (\mathbf{b}\cdot \nabla \mathbf{a}) + 
[\mathbf{a} \times \text{rot}\; \mathbf{b}] + [\mathbf{b} \times \text{rot}\; \mathbf{a}]
  •  \text{rot}\; [\mathbf{a} \times \mathbf{b}] = (\mathbf{b} \cdot \nabla)\mathbf{a} - (\mathbf{a} \nabla) \mathbf{b} + 
\mathbf{a} \text{div}\; \mathbf{b} - \mathbf{b} \text{div}\; \mathbf{a}