Векторне числення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розділи в Математичному аналізі
Фундаментальна теорема
Границя функції
Неперервність
Теорема Лагранжа

Векторне числення — область математичного аналізу, в якій вивчаються скалярні і векторні поля.

Основною теоремою векторного числення є Теорема Стокса.

Багато результатів векторного числення можуть бути представлені як часткові випадки диференціальної геометрії.

Базові поняття[ред.ред. код]

Скалярне поле[ред.ред. код]

Докладніше: Скалярне поле

Скалярне поле пов'язує скалярне значення до кожної точки в просторі. Скаляром може бути як математичне число так і фізична величина. Прикладом скалярних полів в типових застосуваннях є розподілення температури в просторі, розповсюдження тиску в рідині, або спін-нульові квантові поля, такі як Бозон Хіггса. Ці поля є предметом вивчення теорії скалярного поля.

Векторне поле[ред.ред. код]

Докладніше: Векторне поле

Векторне поле пов'язує вектор до кожної точки з підмножини простору.[1] Векторне поле на площині, як приклад, можна зобразити як набір стрілок із заданою величиною і напрямом, що прив'язані до окремих точок на площині. Векторні поля часто використовуються для моделювання, наприклад, напряму і швидкості руху рідини в просторі, або сили і напрямку дії деякої сили, такої як магнітна або гравітаційнасила, і того як вони змінюються від точки до точки.

Вектори і псевдовектори[ред.ред. код]

У більш складних випадках, розрізняють псевдовекторні поля і псевдоскалярні поля, що є ідентичними до векторних і скалярним полів, замість того, що вони змінюють свій знак відповідно до мапи перевертання орієнтації: наприклад, ротор векторного поля є псевдовекторним полем, і якщо хтось відображає векторне поле, ротор вказує в протилежному напряму. Ці відмінності детально вивчаються в геометричній алгебрі.

Векторна алгебра[ред.ред. код]

Докладніше: Векторна алгебра

Алгебраїчні (не диференційні) операції над векторами називаються векторною алгеброю, яка визначається для векторного простору і застосовується для векторного поля. Базовими векторними операціями є наступні:

Операція Позначення Опис
Додавання векторів Додавання двох векторних полів, в результаті дає векторне поле.
Множення на скаляр Множення скалярного поля на векторне поле, дає результатом векторне поле.
Скалярний добуток Множення двох векторних полів має результатом скалярне поле.
Векторний добуток Множення двох векторних полів в , породжує (псевдо)векторне поле.

Також використовуються два мішаних добутки:

Операція Позначення Опис
Скалярний мішаний добуток Скалярний добуток вектору на векторний добуток двох векторів.
Векторний мішаний добуток Векторний добуток вектора на скалярний добуток двох векторів.

Основні операції над полями[ред.ред. код]

Основні формули векторного числення[ред.ред. код]

Для довільних векторних полів та і довільних склярних полів та


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.
  1. Galbis, Antonio & Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. с. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.