Мартингал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Мартинга́л в теорії ймовірностей — це випадковий процес, математичне сподівання якого в майбутній час рівне значенню процесу в цей час. Теорія мартингалів є одним з основних розділів сучасної теорії ймовірностей і має широке застосування у стохастичному моделюванні, зокрема у сфері фінансів.

Мартингали з дискретним часом[ред.ред. код]

  • Послідовність випадкових величин \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} називається мартинга́лом з дискретним часом, якщо виконуються умови
  1. \mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad  n \in \mathbb{N};
  2. \mathsf{E}[X_{n+1} \mid X_1,\ldots,X_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}.
  • Нехай задана також інша послідовність мартингалів \{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}. Тоді послідовність випадкових величин \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} називається мартингалом відносно \{Y_n\}\,\! або \{Y_n\}\,\!-мартингалом, якщо
  1. \mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad  n \in \mathbb{N};
  2. \mathsf{E}[X_{n+1} \mid  Y_1,\ldots,Y_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}.
  • Найбільш загально нехай (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})ймовірнісний простір і \{\mathcal{F}_n\}_{n \in \mathbb{N}} задана на ньому фільтрація. Тоді послідовність випадкових величин \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} називається мартингалом, якщо виконуються умови:
  1. Процес \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} є узгодженим з фільтрацією \{\mathcal{F}_n\}_{n \in N}.
  2. \mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad  n \in \mathbb{N};
  3. \mathsf{E}[X_{n+1} \mid \mathcal{F}_n] = X_n, \quad n \in \mathbb{N}.

Виконуються також і загальніші властивості. Якщо m < n тоді:

\mathsf{E}[X_{n} \mid \mathcal{F}_m] = X_m.

Мартингали з неперервним часом[ред.ред. код]

Нехай задано ймовірнісний простір (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) з заданою на ньому фільтрацією \{\mathcal{F}_t\}_{t \in T}, де T \subset \mathbb{R}. Тоді випадковий процес \{X_t\}_{t \in T} називається мартингалом відносно \{\mathcal{F}_t\}, якщо

  1. X_t\, вимірна відносно \mathcal{F}_t для довільного t \in T.
  2. \mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad  t \in T.
  3. \mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t.

Якщо в якості \{\mathcal{F}_t\} взята природня фільтрація \mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}, то \{X_t\}\,\! називається просто мартингалом.

Суб(супер)мартингали[ред.ред. код]

  • Нехай задана послідовність випадкових величин \{Y_n\}_{n \in \mathbb{N}}. Тоді послідовність випадкових величин \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}} називається су́б(су́пер)мартингалом відносно \{Y_n\}\,\!, якщо
  1. \mathsf{E}|X_n| < \infty, \quad  n \in \mathbb{N};
  2. \mathsf{E}[X_{n+1} \mid  Y_1,\ldots,Y_n] \ge(\le) X_n, \quad n \in \mathbb{N}.
  • Випадковий процес \{X_t\}_{t \in T},\; T \subset \mathbb{R} називається суб(супер)мартингалом відносно \{\mathcal{F}_t\}, якщо
  1. X_t\,\! вимірна відносно \mathcal{F}_t для довільного t \in T.
  2. \mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad  t \in T.
  3. \mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] \ge(\le) X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t.

Якщо в якості \{\mathcal{F}_t\} взята природна фільтрація \mathcal{F}_t = \sigma\{X_s \mid s \le t\}, то \{X_t\}\,\! називається просто суб(супер)мартингалом.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо \{X_t\}\,\! — мартингал, то \mathsf{E}X_t = \mathrm{const}.
  • Якщо \{X_t\}\,\! — субмартингал, то \{-X_t\}\,\! — супермартингал.
  • Якщо \{X_t\}\,\! є мартингалом, а f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}опукла функція, то \{f(X_t)\}\,\! — субмартингал. Якщо f\,\!вгнута функція, то \{f(X_t)\}\,\! — супермартингал.

Приклади[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • G. Grimmett and D. Stirzaker, Probability and Random Processes, 3rd edition, Oxford University Press, 2001, ISBN 0-19-857223-9
  • David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6