Мартингал

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Мартинга́л в теорії ймовірностей — це випадковий процес, математичне сподівання якого в майбутній час рівне значенню процесу в цей час. Теорія мартингалів є одним з основних розділів сучасної теорії ймовірностей і має широке застосування у стохастичному моделюванні, зокрема у сфері фінансів.

Мартингали з дискретним часом[ред.ред. код]

  • Послідовність випадкових величин називається мартинга́лом з дискретним часом, якщо виконуються умови
  1. ;
  2. .
  • Нехай задана також інша послідовність мартингалів . Тоді послідовність випадкових величин називається мартингалом відносно або -мартингалом, якщо
  1. ;
  2. .
  • Найбільш загально нехай ймовірнісний простір і задана на ньому фільтрація. Тоді послідовність випадкових величин називається мартингалом, якщо виконуються умови:
  1. Процес є узгодженим з фільтрацією .
  2. ;
  3. .

Виконуються також і загальніші властивості. Якщо m < n тоді:

.

Мартингали з неперервним часом[ред.ред. код]

Нехай задано ймовірнісний простір з заданою на ньому фільтрацією , де . Тоді випадковий процес називається мартингалом відносно , якщо

  1. вимірна відносно для довільного .
  2. .
  3. .

Якщо в якості взята природня фільтрація , то називається просто мартингалом.

Суб(супер)мартингали[ред.ред. код]

  • Нехай задана послідовність випадкових величин . Тоді послідовність випадкових величин називається су́б(су́пер)мартингалом відносно , якщо
  • Випадковий процес називається суб(супер)мартингалом відносно , якщо
  1. вимірна відносно для довільного .
  2. .
  3. .

Якщо в якості взята природна фільтрація , то називається просто суб(супер)мартингалом.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо — мартингал, то .
  • Якщо — субмартингал, то — супермартингал.
  • Якщо є мартингалом, а опукла функція, то — субмартингал. Якщо вгнута функція, то — супермартингал.

Приклади[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • G. Grimmett and D. Stirzaker, Probability and Random Processes, 3rd edition, Oxford University Press, 2001, ISBN 0-19-857223-9
  • David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.