Сортування злиттям

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Приклад сортування злиттям

Сортування злиттям — алгоритм сортування, в основі якого лежить принцип «Розділяй та володарюй».

В основі цього способу сортування лежить злиття двох упорядкованих ділянок масиву в одну впорядковану ділянку іншого масиву. Злиття двох упорядкованих послідовностей можна порівняти з перебудовою двох колон солдатів, вишикуваних за зростом, в одну, де вони також розташовуються за зростом. Якщо цим процесом керує офіцер, то він порівнює зріст солдатів, перших у своїх колонах і вказує, якому з них треба ставати останнім у нову колону, а кому залишатися першим у своїй. Так він вчиняє, поки одна з колон не вичерпається — тоді решта іншої колони додається до нової.

Під час сортування в дві допоміжні черги з основної поміщаються перші дві відсортовані підпослідовності, які потім зливаються в одну і результат записується в тимчасову чергу. Потім з основної черги беруться наступні дві відсортовані підпослідовності і так до тих пір доки основна черга не стане порожньою. Після цього послідовність з тимчасової черги переміщається в основну чергу. І знову продовжується сортування злиттям двох відсортованих підпослідовностей. Сортування триватиме до тих пір поки довжина відсортованої підпослідовності не стане рівною довжині самої послідовності.

Алгоритм сортування[ред.ред. код]

Нехай у масиві Y з елемента Y[m] починається впорядкована ділянка довжиною s, а з елемента Y[m+s] – впорядкована ділянка довжини r. Наприклад,

Y 1 3 13 2 4 88
m m+1 m+s-1 m+s m+s+1 m+s+r

Результатом злиття повинна бути ділянка довжини r+s у масиві X:

X 1 2 3 4 13 88
m m+1 m+2 m+3 m+s+r

Тепер розглянемо сортування масиву A злиттям. На першому кроці елементи A[1], … , A[n] копіюються в допоміжний масив B[1], … , B[n]. Його елементи розглядаються парами B[1] і B[2], B[3] і B[4] тощо як упорядковані послідовності довжиною lp = 1 і зливаються за допомогою процедури mrg в масив A. Тепер там є впорядковані ділянки довжиною 2. За непарного n останній елемент A[n] залишається без змін як послідовність довжиною 1. На наступному кроці після копіювання в масив B зливаються пари упорядкованих ділянок B[1]B[2] і B[3]B[4], B[5]B[6] і B[7]B[8] тощо. З'являються впорядковані ділянки довжиною 4. Нехай t=nmod4 – довжина залишку масиву після останньої повної четвірки елементів. При t=1 або t=2 останні t елементів утворюють упорядковану ділянку після попереднього кроку. При t=3 зливаються упорядкована пара B[n-1]B[n-2] та ділянка B[n] у ділянку довжиною t. Кроки повторюються з подвоєнням довжин упорядкованих ділянок lp, поки lp < n. Розглянемо сортування злиттям масиву <11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1> довжини n=11. Упорядковані послідовності в ньому вказуються в дужках <>, а пари таких, що зливаються, відокремлені ";": < <11><10> ; <9><8> ; <7><6> ; <5><4> ; <3><2> ; <1> >, lp=1 < <10, 11><8, 9> ; <6, 7><4, 5> ; <2, 3><1> >, lp=2 < <8, 9, 10, 11><4, 5, 6, 7>;<1, 2, 3> >, lp=4 < <4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11><1, 2, 3> >, lp=8 <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11>, lp=16, lp³ n. Як бачимо, нам знадобилося 4 кроки злиття для того, щоб одержати впорядований масив. Очевидно, що після k-го кроку впорядковані ділянки мають довжину lp=2k. Якщо 2k=n, то масив упорядковано. Якщо 2k>n, але 2k-1<n, то при виконанні останнього кроку мають місце співвідношення lp = 2k-1 = 2k / 2 > n/2, npp = 0, tl = n > lp, і злиття ділянки довжиною lp та залишку довжиною n-lp дає впорядкований масив. Оцінимо складність наведеного алгоритму. При кожному виконанні тіла циклу while значення всіх елементів масиву копіюються в допоміжний масив і назад по одному разу, тобто виконується O(n) елементарних дій. Після останнього k-го кроку 2k<2n, тобто k<1+logn, і це означає, що тіло циклу while виконується 1+ëlog2nû =O(logn) разів. Отже, складність алгоритму оцінюється як O(nlogn). Запишемо в таблицю значення виразів n, n(n-1)/2, n(1+ë log2nû ) та округлене відношення r двох останніх:

n n(n-1)/2 n(1+ë log2nû ) r
10 45 40 1
100 4950 700 7
1000 499500 10000 50
10000 49995000 140000 350

Як бачимо, кожне зростання n у 10 разів веде до зростання n(n-1)/2 та n(1+ë log2nû ) приблизно в 100 й 14 разів відповідно, і за n=10000 сортування злиттям виконується в сотні разів скоріше, ніж бульбашкове! Зауважимо, що в наведеному алгоритмі сортування злиттям копіювання масиву в допоміжний указано лише для того, щоб ідею алгоритму було простіше сприйняти. Цей алгоритм нескладно переробити так, щоб замість копіювання в додатковий масив відбувалося злиття в нього упорядкованих ділянок. Отже, на кроках з номерами 1, 3, 5, … має відбуватися злиття в допоміжний масив, а на кроках 2, 4, 6, … – злиття в протилежному напрямку. Переробка алгоритму залишається вправою. Сортування злиттям можна задати рекурсивно: масив поділяється на дві приблизно рівні частини, які після сортування (тим самим способом – ось рекурсія!) зливаються. Коли ж довжина частини масиву зменшується до 1, відбувається просто повернення з рекурсії. Цей алгоритм уточнюється наступною процедурою Mrgrec. На відміну від процедури Merges, вона має два параметри-масиви (той, що сортується, та допоміжний), а також два числові параметри (початок і кінець частини масиву, яка сортується). Крім того, спочатку відбувається злиття ділянок основного масиву в допоміжний, а потім копіювання в основний: Ця функція набагато коротше нерекурсивної функції, але виконання її довше. Власне сортування починається лише після повернення з викликів, у яких l=r, а це практично "середина дистанції". Завершуючи описання сортування злиттям, скажемо, що цей алгоритм є першим із ефективних алгоритмів сортування. У 1945 році його винайшов Джон фон Нейман, один із піонерів програмування.

Псевдокод алгоритму[ред.ред. код]

Процедура здійснює часткове впорядкування масиву , впорядковуючи його елементи з p-го по q-ий здійснить впорядкування всього масиву).


1 if 
2    then return
3   
4 if 
5    
6    
7 

використовує допоміжну процедуру , що здійснює об'єднання частин масиву A з p-го по c-ий елемент і з c+1-го по q-ий елемент в один впорядкований підмасив. Для цього використовується один додатковий масив такої ж довжини як і (В деяких реалізаціях вдвічі коротший за — мінімально можлива його довжина).


1 
2 
3 for  to 
4     do if  або ( і )
5           then 
6                
7           else 
8                
9 for  to 
10    do 

Аналіз алгоритму[ред.ред. код]

Час роботи алгоритму по впорядкуванню елементів задовільняє рекурентному співвідношенню:

, де — час на впорядкування половини масиву, — час на злиття цих половинок.

Враховуючи, що , розв'язком співвідношення є .

Крім того, алгоритм потребує для своєї роботи додаткової пам'яті.

Алгоритм не міняє порядок розташування однакових елементів, а отже він є стабільним.

Можливі оптимізації[ред.ред. код]

Швидкість алгоритму є асимптотично оптимальною. Але її можна пришвидшити в константну кількість разів.

  • Оптимізація впорядкування невеликих частин масиву — невеликі частини масиву (наприклад, при q-p<50) впорядковувати сортуванням вставкою.
  • Оптимізація кількості копіювань елементів — при злитті двох впорядкованих масивів в один, кожен елемент копіюється два рази (спочатку у тимчасовий масив, а потім знову у початковий). Кількість копіювань можна зменшити удвічі, якщо по черзі використовувати для об'єднання початковий і тимчасовий масиви. Тоді можна не виконувати зайві операції копіювання (рядки 9-10 процедури Merge).

Робота алгоритму[ред.ред. код]

Схема алгоритму для конкретного прикладу послідовності

Проілюструємо алгоритм сортування на такій послідовності: 42 5 30 36 25 10 37 49 0 0 На початку сортування відсортовані підпослідовності містять в собі по одному елементу.

Крок 1: 5 42 | 30 36 | 10 25 | 37 49 | 0 0

Крок 2: 5 30 36 42 | 10 25 37 49 | 0 0

Крок 3: 5 10 25 30 36 37 42 49 | 0 0

Крок 4: 0 0 5 10 25 30 36 37 42 49

Тестування алгоритму[ред.ред. код]

Для перевірки правильності сортування звіримо сортування проведене програмою з сортуванням за даним алгоритмом вручну.

Проведемо сортування наступної послідовності: 56 19 3 95 23 17 38 44 69 73 84

На початку сортування послідовність є розбита на відсортовані підпослідовності по одному елементу в кожній.

56 | 19 | 3 | 95 | 23 | 17 | 38 | 44 | 69 | 73 | 84

далі кожні дві підпослідовності зливаються в одну відсортовану підпослідовність : 19 56 | 3 95 | 17 23 | 38 44 | 69 73 | 84

на наступному кроці отримаємо наступний результат злиття: 3 19 56 95 | 17 23 38 44 | 69 73 84 |

потім: 3 17 19 23 38 44 56 95 | 69 73 84 |

на останньому кроці отримаємо відсортовану послідовність: 3 17 19 23 38 44 56 69 73 84 | 95

Послідовність була відсортована за 4 кроки.

Приклад реалізації на С++[ред.ред. код]

#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

template <typename T>
void merge_sort(T* elems, //original array
                T* tmp_elems, //temp array to hold intermediate results, should be same size as array "elems"
                size_t size)
{
    if (size <= 1) {return;} //nothing to sort
    
    const size_t left_size = size / 2;
    const size_t right_size = size - left_size;
    
    merge_sort(elems, tmp_elems, left_size);
    merge_sort(elems + left_size, tmp_elems + left_size, right_size);
    
    T* leftIt = elems; // pointer to walk through left part
    T* const pivot = elems + left_size; //end of left part, start of right  part
    T* rightIt = pivot; // pointer to walk through right part
    T*const end = elems + size;
    T* outputIt = tmp_elems; //pointer to where to write when merging left and right subparts
    
    while (true)
    {
        if (*leftIt < *rightIt)
        {
            *outputIt++ = *leftIt++;
            if (leftIt == pivot)
            {
                // copy the rest of right part that has not been copied yet
                copy(rightIt,
                     end,
                     outputIt);
                break;
            }
        }
        else
        {
            *outputIt++ = *rightIt++;
            if (rightIt == end)
            {
                // copy the rest of left part that has not been copied yet
                copy(leftIt,
                     pivot,
                     outputIt);
                break;
            }
        }
    }
    
    copy(tmp_elems,
         tmp_elems + size,
         elems);
}

Алгоритм об'єднання без додаткової пам'яті[ред.ред. код]

Цей алгоритм впорядкування масиву є модифікацією сортування злиттям. Він також є стабільним, але не потребує додаткової пам'яті.

Псевдокод алгоритму[ред.ред. код]

Процедура працює аналогічно процедурі сортування злиттям:


1 if 
2    then return
3   
4 
5 
6 

Відмінність алгоритмів полягає в процедурі , яка здійснює об'єднання двох впорядкованих масивів без додаткової пам'яті, але за час .

Існує декілька алгоритмів об'єднання двох впорядкованних масивів, що не потребують додаткової пам'яті. Розглянемо лише один з них.

Ідея алгоритму злиття[ред.ред. код]

Нехай алгоритм має об'єднати дві частини масиву — з -го по -ий і з -го по -ий.

Виконаємо об'єднання в декілька етапів:

1. Знайдемо такі індекси , що 

2. Змінимо порядок елементів масиву з  на

3. Викличемо рекурсивне злиття для половин нового масиву.

Тобто, спочатку ми знаходимо елементи, що мають лежати в першій половині масиву (найменші), потім переміщаємо найменші елементи в цю половину. Тоді можна окремо впорядкувати першу і другу половини масива (кожна з половин також буде складатися з двох впорядкованних частин, що треба об'єднати).

Пункт 1, можна виконати за один лінійний прохід. Другий крок — це по-суті циклічний зсув частини масиву на j елементів. Він може бути виконаний за лінійний час, наприклад, за допомогою трьох перегортань.

Псевдокод алгоритму злиття[ред.ред. код]


1. if  або 
2.    then return
3. 
4. 
5. 
6. 
7. While  
8. do    if 
9.       then 
10.      else 
11.      
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 

Функція перегортає або дзеркально відображає частину масиву A з a-го по b-ий елементи включно.

Аналіз алгоритму[ред.ред. код]

Спочатку проаналізуймо функцію ModifiedMerge. Вона виконує два кроки, що потребують O(n) часу, і двічі викликає себе від масиву, що у двічі менший за початковий.

Отже, час роботи функції на масиви довжиною n:

Тепер можемо визначити час роботи алгоритму впорядкування, він виражається рівнянням:

Застосування[ред.ред. код]

Алгоритм використовується в деяких реалізаціях функції stable_sort() з стандартної бібліотеки шаблонів (STL) мови програмування C++.


Джерела[ред.ред. код]

  • Thimas H. Cormen; Charles E. Leiserson; Ronald L. Rivest; Clifford Stein. Introduction to Algorithms (2nd ed.) The MIT Press. ISBN 0-07-013151-1

Посилання[ред.ред. код]