Теорія Бранса — Діккі

Теорія Бранса — Діккі (рідше теорія Йордана — Бранса — Діккі) — скалярно-тензорна теорія гравітації, що збігається в одній із границь із загальною теорією відносності (ЗТВ). В теорії Йордана — Бранса — Діккі, як скалярно-тензорній метричній теорії, гравітаційний вплив на матерію реалізується через метричний тензор простору-часу, а матерія впливає на метрику не лише безпосередньо, а й через генероване додатково скалярне поле $\phi$. Тому в теорії Йордана — Бранса — Діккі гравітаційна стала $G$ не обов'язково постійна, а залежить від скалярного поля $1/G\sim \phi$, яке може змінюватися у просторі та часі.

Ця теорія набула остаточного формулювання 1961 року в статті Карла Бранса і Роберта Діккі, яка істотно спиралася на працю Паскуаля Йордана 1959 року. У «золоту добу» загальної теорії відносності ця теорія розглядалася як гідний суперник загальної теорії відносності з-поміж альтернативних теорій гравітації.

Як теорія, що за особливого набору параметрів зводиться до ЗТВ, теорію Йордана — Бранса — Діккі можна спростувати експериментами, які суперечать загальній теорії відносності. Проте експерименти, що підтверджують передбачення теорії відносності, значно обмежують допустиму довільність параметрів теорії Йордана — Бранса — Діккі. Нині цю теорію підтримує меншість фізиків.

Порівняння із загальною теорією відносності

Як ЗТВ, так і теорія Бранса — Діккі є прикладами класичних теорій гравітаційного поля, званих метричними теоріями. У цих теоріях простір-час описується метричним тензором $g_{ab}$, а гравітаційне поле представляється, повністю або частково, тензором кривини Рімана $R_{abcd}$, який визначається метричним тензором.

Всі метричні теорії задовольняють принцип еквівалентності Ейнштейна, який сучасною геометричною мовою каже, що в малій ділянці простору, занадто малій, щоб у ній виявлялися ефекти, пов'язані з кривиною простору, всі закони фізики, що існують у спеціальній теорії відносності, виконуються в локальній лоренцовій системі відліку. Звідси випливає, що у всіх метричних теоріях проявляється ефект гравітаційного червоного зміщення.

Як і в ЗТВ, джерелом гравітаційного поля є тензор енергії-імпульсу. Однак спосіб, яким наявність цього тензора в будь-якій ділянці простору впливає на гравітаційне поле в цій ділянці, виявляється іншим. В теорії Бранса — Діккі на додаток до метрики, яка є тензором другого рангу, існує також скалярне поле $\phi$, яке фізично проявляється як зміна в просторі ефективної гравітаційної сталої.

Рівняння поля теорії Бранса — Діккі містять параметр $\omega$, званий сталою зв'язку Бранса — Діккі. Це справжня безрозмірнісна стала, яка вибирається один раз і не змінюється. Зрозуміло, що її слід вибирати так, щоб вона відповідала спостереженням. Крім того, як граничну умову слід використати існуюче фонове значення ефективної гравітаційної сталої. В разі зростання сталої зв'язку теорія Бранса — Діккі дає передбачення, дедалі ближчі до ЗТВ, а в границі $\omega \to \infty$ переходить у неї.

У ЗТВ безрозмірнісні константи відсутні, отже, її легше спростувати експериментом, ніж теорію Бранса — Діккі. Теорії, що допускають допасування параметрів, у принципі вважають менш задовільними, і при виборі з двох альтернативних теорій слід вибирати ту, що містить меншу кількість параметрів (принцип бритви Оккама). Однак у деяких теоріях такі параметри необхідні.

Теорія Бранса — Діккі менш строга, ніж ЗТВ і ще в одному сенсі — вона допускає більшу кількість розв'язків. Зокрема, точний вакуумний розв'язок рівнянь Айнштайна ЗТВ, доповнений тривіальним скалярним полем $\phi =1$, стає точним вакуумним розв'язком теорії Бранса — Діккі, проте деякі розв'язки, які є вакуумними розв'язками ЗТВ, за відповідного вибору скалярного поля стають вакуумними розв'язками теорії Бранса — Діккі. Аналогічно, важливий клас метрик простору-часу, званих pp-хвилями, є нульовими пиловими розв'язками яку ЗТВ, так і в теорії Бранса — Діккі, проте в теорії Бранса — Діккі існують додаткові хвильові розв'язки, що мають геометрії, неможливі в ЗТВ.

Як і ЗТВ, теорія Бранса — Діккі передбачає гравітаційне лінзування і прецесію перигелію планет, що обертаються навколо Сонця. Однак точні формули, що описують ці ефекти в ній, залежать від значення сталої зв'язку $\omega$. Це означає, що зі спостережень можна отримати значення нижньої межі на можливі значення $\omega$. 2003 року в ході експерименту Кассіні — Гюйгенс показано, що $\omega$ має перевищувати 40 000.

Часто можна почути, що теорія Бранса — Діккі, на відміну від ЗТВ, відповідає принципу Маха. Однак деякі автори стверджують, що це не так (особливо з огляду на відсутність консенсусу про те, що, власне, являє собою принцип Маха). Зазвичай стверджують, що ЗТВ можна отримати з теорії Бранса — Діккі при $\omega \to \infty$. Однак Фараоні стверджує, що така думка є спрощенням. Стверджують також, що тільки ЗТВ задовольняє сильний принцип еквівалентності.

Рівняння поля

Рівняння поля в теорії Бранса — Діккі мають такий вигляд:

$\Box \phi ={\frac {8\pi }{3+2\omega }}T$,

$G_{ab}={\frac {8\pi }{\phi }}T_{ab}+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}}\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\frac {1}{2}}g_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{a}\nabla _{b}\phi -g_{ab}\Box \phi ),$

де

$\omega$ — безразмірнісна стала зв'язку Бранса — Діккі,

$g_{ab}$ — метричний тензор,

$G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}$ — тензор Айнштайна,

$R_{ab}=R^{m}{}_{amb}$ — тензор Річчі, слід тензора кривини,

$R=R^{m}{}_{m}$ — скаляр Річчі, слід тензора Річчі,

$T_{ab}$ — тензор енергії-імпульсу,

$T$ — слід $T_{ab}$,

$\phi$ — скалярне поле,

$\Box$ — оператор Лапласа — Бельтрамі або коваріантний хвильовий оператор, $\Box \phi =\phi ^{;a}{}_{;a}$.

Перше рівняння стверджує, що слід тензора енергії-імпульсу є джерелом скалярного поля $\phi$. Оскільки електромагнітне поле робить внесок тільки в безслідові члени тензора енергії-імпульсу, то в ділянках простору, які містять тільки електромагнітне поле (плюс гравітаційне поле), права частина виразу перетворюється на нуль і $\phi$ вільно проходить крізь електровакуумну ділянку та $\phi$ задовольняє хвильове рівняння (для викривленого простору). Це означає, що будь-які зміни у $\phi$ вільно поширюються через електровакуумну ділянку; в цьому сенсі ми можемо стверджувати, що $\phi$ є далекодійним полем

Друге рівняння описує, як тензор енергії-імпульсу та скалярне поле $\phi$ спільно впливають на простір-час. Ліворуч тензор Айнштайна може розглядатися як середня кривина. З математики випливає, що в будь-якій метричній теорії тензор Рімана можна записати як суму тензора Вейля (також званого конформним тензором кривини) та доданка, збираного з тензора Айнштайна.

Для порівняння, рівняння поля в загальній теорії відносності

$G_{ab}=8\pi T_{ab}.$

Воно означає, що в ЗТВ кривина Айнштайна повністю визначається тензором енергії-імпульсу, а інший доданок, кривина Вейля, відповідає частині гравітаційного поля, що поширюється крізь вакуум. А в теорії Бранса — Діккі тензор Айнштайна визначається частково безпосередньо присутніми енергією та імпульсом, а частково далекодійним скалярним полем $\phi$.

Рівняння поля у вакуумі обох теорій утворюються при зануленні тензора енергії-імпульсу. Вони описують ситуацію, коли всі поля, окрім гравітаційного, відсутні.

Дія

Лагранжіан, що містить повний опис теорії Бранса — Діккі, виглядає так:

$S={\frac {1}{16\pi }}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left(\phi R-\omega {\frac {\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi }{\phi }}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right),$

де

$g$ — детермінант метрики,

${\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ — чотиривимірна форма об'єму,

${\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }$ — лагранжіан речовини.

Останній доданок включає внесок звичайної матерії та електромагнітного поля. У вакуумі він перетворюється на нуль, і те, що залишається, називають гравітаційним доданком. Щоб отримати вакуумні рівняння, слід порахувати його варіації відносно метрики $g_{ab}$; це дасть нам друге з рівнянь поля. При розрахунку ж варіацій відносно скалярного поля $\phi$ отримаємо перше з рівнянь. Зауважимо, що, на відміну від рівнянь ЗТВ, доданок $\delta R_{ab}/\delta g_{cd}$ не обнулюється, оскільки результат є повним диференціалом. Можна показати, що:

${\frac {\delta (\phi R)}{\delta g^{ab}}}=\phi R_{ab}+g_{ab}g^{cd}\phi _{;cd}-\phi _{;ab}.$

Для того, щоб довести це, скористаємося тим, що

$\delta (\phi R)=R\delta \phi +\phi R_{mn}\delta g^{mn}+\phi \nabla _{s}(g^{mn}\delta \Gamma _{nm}^{s}-g^{ms}\delta \Gamma _{rm}^{r}).$

При обчисленні $\delta \Gamma$ в ріманових нормальних координатах 6 індивідуальних доданків виявляються рівними нулю. Ще 6 можна скомбінувати, скориставшись теоремою Стокса, що дає $(g_{ab}g^{cd}\phi _{;cd}-\phi _{;ab})\delta g^{ab}$.

Для порівняння, в загальній теорії відносності дія має вигляд:

$S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\,\left({\frac {R}{16\pi G}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right).$

Рахуючи варіації гравітаційного члена відносно $g_{ab}$, отримуємо польові рівняння Айнштайна у вакуумі

В обох теоріях повні польові рівняння можна отримати шляхом варіацій повного лагранжіана, так що вони мають дію.

Див. також

• Альтернативні теорії гравітації
• Гравітація
• Космологія безперервного народження речовини, модифікація теорії Бранса — Діккі, що дає змогу мінімально пов'язаному скалярному полю взаємодіяти з речовиною.

Посилання

• P. G. Bergmann. Comments on the scalar-tensor theory // Int. J. Theor. Phys. : journal. — 1968. — Vol. 1 (29 April). — P. 25. — DOI:10.1007/BF00668828.
• R. V. Wagoner. Scalar-tensor theory and gravitational waves // Phys. Rev. : journal. — 1970. — Vol. D1 (29 April). — P. 3209.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; & Wheeler, John Archibald. Gravitation. — San Francisco : W. H. Freeman, 1973. — ISBN 0-7167-0344-0.
  Див. Box 39.1.
• Will, Clifford M. Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test. — NY : Basic Books, 1986. — ISBN 0-19-282203-9.
  
  Розділ 8: "The Rise and Fall of the Brans-Dicke Theory".
• Faroni, Valerio. Illusions of general relativity in Brans-Dicke gravity // Phys. Rev. : journal. — 1999. — Vol. D59 (29 April). — P. 084021.
  
  Також препринт в arXiv.org.
• Faraoni, Valerio. Cosmology in scalar-tensor gravity. — Boston : Kluwer, 2004. — ISBN 1-4020-1988-2.
• Carl H. Brans, The roots of scalar-tensor theory: an approximate history. ArXiv. Процитовано 14 червня 2005.