Тригранник Френе

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Тригранник Френе вздовж гвинтової лінії. Вектори  — синій,  — червоний,  — чорний.

Тригранник або репер Френе — це природна рухома система в тривимірному просторі, що виникає на C3-гладкій кривій.

Нехай  — C3-гладка крива в Евклідовому просторі . Крива задана радіус-вектором , де s — натуральний параметр. З точкою ненульової кривини можна зв'язати три вектори які утворюють ортонормований базис. Де

 — одиничний дотичний вектор,
 — одиничний вектор головної нормалі,
  — одиничний вектор бінормалі до кривої в даній точці.

Вектори зв'язані співвідношеннями:

Величини

називають, відповідно, кривиною та скрутом кривої в даній точці. Рівняння виду де усюди додатня називаються натуральними рівняннями кривої та визначають її з точністю до руху у просторі. Це твердження називають основною теоремою теорії кривих.

Формули Френе також відомі як теореми Френе, можна сформулювати, більш стисло, використовуючи матричні позначення:

Ця матриця буде кососиметричною.

Визначення[ред.ред. код]

T та N вектори у двох точках на плоскій кривій, переносимо вектор T (позначено пунктиром), різницю векторів позначимо, як δT. Відстань між точками позначимо δs. Границя буде в напрямку N і кривина описує швидкість обертання репера.

Нехай r(t) — це крива в евклідовому просторі, що представлена радіус-вектором як функція, залежна від часу. Формули Френе-Серрі виконуються для невироджених кривих. Це криві, у яких вектор швидкості r'(t) та вектор прискорення r"(t) не будуть паралельними.

Нехай s(t) задається довжиною дуги, яка змінюється вздовж частини кривої. У випадку, коли крива задана ненатуральною параметризацією, можна перейти до неї за допомогою наступної формули:

Більш того, з того, що r′ ≠ 0 слідує, що s(t) — строго монотонно зростаюча функція. Tому візьмемо t як функцію, залежну від s, і запишемо у вигляді: r(s) = r(t(s)). Тоді, крива буде параметризована за допомогою довжини дуги.

Примітки[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]