Збіжність в Lp

Збіжність в $L^{p}$ в функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах — вид збіжності вимірних функцій або випадкових величин.

Визначення

Нехай $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — простір з мірою. Тоді простір $L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ вимірних функцій, таких что їх $p$-та степінь, де $p\geqslant 1$, інтегровна за Лебегом, є метричним. Метрика в цьому просторі має вигляд:

$d(f,g)=\|f-g\|_{p}\equiv \left(\,\int \limits _{X}|f(x)-g(x)|^{p}\,\mu (dx)\,\right)^{1/p}$.

Нехай дана послідовність $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$. Тоді кажуть, що ця послідовність збігається в $L^{p}$ до функції $f\in L^{p}$, якщо вона збігається в метриці, визначеній вище, тобто

$\lim \limits _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=0$.

Пишуть: $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f$.

У термінах теорії ймовірностей, послідовність випадкових величин $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ збігається до $X$ з того ж простору, якщо

$\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} |X_{n}-X|^{p}=0$.

Пишуть: $X_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}X$.

Термінологія

• Збіжність в просторі $L^{1}$ називається збіжністю в середньому.
• Збіжність в просторі $L^{2}$ називається збіжністю в середньоквадратичному.

Властивості збіжності в $L^{p}$

• Єдиність границі. Якщо $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f$ и $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}g$, то $f=g$ $\mu$-майже всюди ($\mathbb {P}$-майже напевно).

• Простір $L^{p}$ повний. Якщо $\|f_{n}-f_{m}\|_{p}\to 0$ при $\min(n,m)\to \infty$, то існує $f\in L^{p}$, такий що $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f$.

• Із збіжності в $L^{p}$ випливає збіжність за мірою (за ймовірністю). Якщо $f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f$, то $f_{n}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}f$.

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)