Поворот Віка

Поворот Віка^{[усталений термін?]} (англ. Wick rotation) — метод математичної фізики, який дозволяє звести математичну проблему в просторі Мінковського до відповідної у евклідовому просторі. Основою цього методу є властивість аналітичного продовження, що дозволяє вважати час суто уявною величиною. Метод названо на честь італійського фізика Джан-Карло Віка.
Застосовується у квантовій механіці.

Огляд

Поворот Віка базується на наступному спостереженні: метрика Мінковського

$ds^{2}=-\left(dt^{2}\right)+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

після формальної заміни $t=-i\tau$, де $\tau$ — дійсна величина, зводиться до метрики чотиривімирного евклідового простору:

$ds^{2}=d\tau ^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$

Якщо математичну проблему можна розв'язати в термінах величин $(\tau ,x,y,z)$, обернене перетворення $\tau =it$ дає розв'язок відповідної задачі в просторі Мінковського.

Статистична та квантова механіка

Поворот Віка пов'язує між собою такі розділи теоретичної фізики, як статистична механіка та квантова механіка. Ключовим поняттям статистичної механіки є статистична сума:

$Z(T)=\sum _{n}\exp \left(-{\frac {H}{k_{B}T}}\right)$

де $H$ — Гамільтоніан досліджуваної системи, $T$ — температура, $k_{B}$ — стала Больцмана, а підсумовування відбувається за всіма мікроскопічними станами.

З іншого боку, часова залежність станів та фізичних величин у квантовій механіці визначається оператором еволюції:

$U(t)=\exp \left(-{\frac {iHt}{\hbar }}\right)$

Можна побачити, що дві експоненти стають еквівалентними, якщо ототожнити ${\frac {it}{\hbar }}={\frac {1}{k_{B}T}}$. Така заміна дозволяє переходити від статистичних задач до квантовомеханічних та навпаки. Так, наприклад, інтеграл вздовж траєкторій після такої заміни тотожньо зводиться до статистичної суми.

Статистика та динаміка

Поворот Віка пов'язує задачі динаміки вимірності $n-1$ зі статичними задачами вимірності $n$, змінюючи час на додатковий просторовий вимір. Наприклад, для $n=2$ можна розглянути струну із закріпленими кінцями, що висить у гравітаційному полі. Форма струни $y(x)$ визначається екстремальністю енергії:

$E=\int _{x}\left[k\left({\frac {dy(x)}{dx}}\right)^{2}+V(y(x))\right]dx,$

де k — коефіцієнт пружності та V(y(x)) — потенціал гравітаційного поля.

Відповідна задача динаміки — це розрахунок траєкторії тіла, що кинули вгору $y(t)$. Як відомо з класичної механіки, рух тіла визначається принципом найменшої дії:

$S=\int _{t}\left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V(y(t))\right]dt$

де $m$ — маса тіла.

Можна бачити, що розв'язок для струни $y(x)$ при $x=it$ дійсно задовільняє принципу найменшої дії (при $k=m$):

$\int \left[k\left({\frac {dy(x=it)}{d(it)}}\right)^{2}+V(y(x=it))\right]d(it)=i\int \left[m\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}-V(y(t))\right]dt=iS$

Джерела

• Wick, G. C. (1954). Properties of Bethe-Salpeter Wave Functions. Physical Review. 96 (4): 1124—1134. Bibcode:1954PhRv...96.1124W. doi:10.1103/PhysRev.96.1124.

Посилання

• A Spring in Imaginary Time — a worksheet in Lagrangian mechanics illustrating how replacing length by imaginary time turns the parabola of a hanging spring into the inverted parabola of a thrown particle
• Euclidean Gravity — a short note by Ray Streater on the «Euclidean Gravity» programme.