Інтеграл вздовж траєкторій

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи
Ілюстрація дерева шляхів, які ведуть з точки A в точку B

Інтеграл вздовж траєкторій — математичний оператор, який використовується у Фейнмановому формулюванні квантової механіки.

Формальне визначення інтегралу вздовж траєкторій дається формулою

 \int\limits_{W[t_0,t]} (\ldots)D[q(t)] = \lim\limits_{n\rightarrow \infty, \varepsilon \rightarrow 0} 
\left( \frac{m} {2 \pi i \hbar \varepsilon} \right)^{(n+1)/2}  
\int\limits_{-\infty}^\infty \dots \int\limits_{-\infty}^\infty (\ldots) dq_1\ldots dq_n  ,

де  \varepsilon (n+1) = t - t_0 ,  W[t_0, t] \, множина всіх траєкторій, які сполучають початкову точку (q_0, t_0) \, та кінцеву точку (q, t) \,, m — маса квантової частинки,  \hbar зведена стала Планка.

Постулатом Фейманового формулювання квантової механіки є те, що пропагатор задається інтегралом вздовж траєкторій:

 K(qt|q_0t_0) = \int\limits_{W[t_0,t]} \exp \left( \frac{i}{\hbar}S[q(\cdot);t_0,t] \right)  D[q(t)]  ,

де  S[q(\cdot); t_0, t] — класична дія.

Якісна інтерпретація[ред.ред. код]

На відміну від звичайного інтеграла, в якому підсумовуються значення функції на відрізку, в інтегралі вздовж траєкторій підсумовуються значення функції вздовж усіх можливих кривих, які сполучають початкову й кінцеву точку. В рамках Фейнманового формулювання квантової механіки такий інтеграл визначає амплітуду ймовірності того, що квантова частинка переміститься з початкової точки в кінцеву.

Якщо в класичній механіці реалізується та з траєкторій, якій відповідає найменше значення дії, то в квантовій механіці свій вклад в ймовірність переходу частинки з однієї точки в іншу вносять усі можливі криві, які сполучають ці точки. Оскільки в квантовій механіці визначається не ймовірність переходу, а амплітуда ймовірності, то внески різних траєкторій інтерферують.

Інтеграл вздовж траєкторій у фазовому просторі[ред.ред. код]

Квантову механіку можна сформулювати через інтеграли вздовж траєкторій, використовуючи також канонічні змінні — координату та імпульс. Пропагатор частинки задається при такому підході через співвідношення:

 K(qt|q_0t_0) = \int\limits_{W[t_0,t]} \exp \left( \frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t (p\dot{q} - \mathcal{H}(q,p))dt \right)  D[q(t)]D[p(t)]  ,

де  \mathcal{H} функція Гамільтона.

Інтегрування проводиться вздовж усіх траєкторій у фазовому просторі із фіксованим значенням координати в початковій та кінцевій точках.

Статистична механіка[ред.ред. код]

В квантовій статистичній механіці зележна від температури матриця густини задовольняє рівнянню

 - \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial \beta} = \hat{H} \hat{\rho} ,

де  \beta = \frac{1}{k_B T} ,  k_B стала Больцмана.

Формальний розв'язок цього рівняння

 \hat{\rho}(\beta) = e^{-\beta \hat{H}} \hat{\rho}(0).

Статистична сума дорівнює сліду від матриці густини

 Z = \text{Sp}\, \hat{\rho} .

Вводячи умовний «час»  u = \beta \hbar , де  \hbar зведена стала Планка, і розбиваючи інтервал [0, U] на дрібні інтервали, можна записати

 \hat{\rho}(U) = \int\limits_{W(0,U)} \Phi[u] D[u],

розглядаючи всі можливі траєкторії, якими система може переміститися з початкового стану при нескінченно високій температурі в кінцевий стан при температурі, що визначається значенням U.

Історія[ред.ред. код]

Формулювання квантової механіки через інтеграли вздовж траєкторій розробив у 1948 році Річард Фейнман.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Література[ред.ред. код]

  • Вакарчук І.О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л.: ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Юхновський І.Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.
  • Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск: РХД, 2009. — 632 с.
  • Зинн-Жюстен Ж. Континуальный интеграл в квантовой механике. — М.: Физматлит, 2010. — 360 с.
  • Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968. — 384 с.
  • Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.