Інтеграл вздовж траєкторій

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка

Принцип невизначеності
Вступ[en] · Історія[en]
Математичні основи[en]
Ілюстрація дерева шляхів, які ведуть з точки A в точку B

Інтеграл вздовж траєкторій — математичний оператор, який використовується у Фейнмановому формулюванні квантової механіки.

Формальне визначення інтегралу вздовж траєкторій дається формулою

,

де , множина всіх траєкторій, які сполучають початкову точку та кінцеву точку , m — маса квантової частинки, зведена стала Планка.

Постулатом Фейманового формулювання квантової механіки є те, що пропагатор задається інтегралом вздовж траєкторій:

,

де — класична дія.

Якісна інтерпретація[ред.ред. код]

На відміну від звичайного інтеграла, в якому підсумовуються значення функції на відрізку, в інтегралі вздовж траєкторій підсумовуються значення функції вздовж усіх можливих кривих, які сполучають початкову й кінцеву точку. В рамках Фейнманового формулювання квантової механіки такий інтеграл визначає амплітуду ймовірності того, що квантова частинка переміститься з початкової точки в кінцеву.

Якщо в класичній механіці реалізується та з траєкторій, якій відповідає найменше значення дії, то в квантовій механіці свій вклад в ймовірність переходу частинки з однієї точки в іншу вносять усі можливі криві, які сполучають ці точки. Оскільки в квантовій механіці визначається не ймовірність переходу, а амплітуда ймовірності, то внески різних траєкторій інтерферують.

Інтеграл вздовж траєкторій у фазовому просторі[ред.ред. код]

Квантову механіку можна сформулювати через інтеграли вздовж траєкторій, використовуючи також канонічні змінні — координату та імпульс. Пропагатор частинки задається при такому підході через співвідношення:

,

де функція Гамільтона.

Інтегрування проводиться вздовж усіх траєкторій у фазовому просторі із фіксованим значенням координати в початковій та кінцевій точках.

Статистична механіка[ред.ред. код]

В квантовій статистичній механіці зележна від температури матриця густини задовольняє рівнянню

,

де , стала Больцмана.

Формальний розв'язок цього рівняння

.

Статистична сума дорівнює сліду від матриці густини

.

Вводячи умовний «час» , де зведена стала Планка, і розбиваючи інтервал [0, U] на дрібні інтервали, можна записати

,

розглядаючи всі можливі траєкторії, якими система може переміститися з початкового стану при нескінченно високій температурі в кінцевий стан при температурі, що визначається значенням U.

Історія[ред.ред. код]

Формулювання квантової механіки через інтеграли вздовж траєкторій розробив у 1948 році Річард Фейнман.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Література[ред.ред. код]

  • Вакарчук І.О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Л. : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.
  • Юхновський І.Р. Основи квантової механіки. — К. : Либідь, 2002. — 392 с.
  • Зи Э. Квантовая теория поля в двух словах. — Ижевск : РХД, 2009. — 632 с.
  • Зинн-Жюстен Ж. Континуальный интеграл в квантовой механике. — М. : Физматлит, 2010. — 360 с.
  • Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М. : Мир, 1968. — 384 с.
  • Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.