Теорема Какутані про нерухому точку

Теорема Какутані про нерухому точку — твердження в опуклій геометрії, що є узагальненням теореми Брауера про нерухому точку. Терема має широке застосування в економіці, зокрема у знаменитому доведенні існування рівноваги Неша.

Твердження теореми

Необхідні означення

Багатозначною функцією φ із множини X у множину Y називається функція із X у булеан множини Y, φ: X → 2^Y, для якої також φ(x) є непорожньою множиною для всіх $x\in X$.

Багатозначна функція φ: X → 2^Y називається замкнутою якщо множина {(x,y) | y ∈ φ(x)} є замкнутою підмножиною у X × Y. Іншими словами, якщо для послідовностей $\{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ і $\{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ для яких $x_{n}\to x$, $y_{n}\to y$ і $y_{n}\in \varphi (x_{n})$ для всіх $n$, також $y\in \varphi (x)$.

Багатозначна функція φ: X → Y називається напівнеперервною зверху в точці x, якщо для будь-якого околу U множини-образу φ(x) існує окіл V точки x, такий, що $\phi (V)\subset U,$ де $\phi (V)=\bigcup _{x\in V}\phi (x)$. Функція називається напівнеперервною зверху, якщо вона є напівнеперервною зверху в кожній точці. Якщо множина X є компактною то багатозначна функція є замкнутою тоді і тільки тоді коли вона є напівнеперервною зверху і φ(x) є замкнутою множиною для всіх x.

Нехай φ: X → 2^X — багатозначна функція. Тоді a ∈ X називається нерухомою точкою функції φ якщо a ∈ φ(a).

ε-сіткою у метричному просторі X називається така підмножина S, що для кожної точки x у X існує точка у S відстань до якої є меншою за ε. Для компактного простору X завжди існує скінченна ε-сітка.

Твердження теореми

Нехай X непорожня, компактна і опукла підмножина евклідового простору Rⁿ. Якщо φ: X → 2^X є замкнутою багатозначною функцією на X і для всіх x ∈ X множина φ(x) є непорожньою і опуклою то для функції φ існує нерухома точка.

Доведення

Оскільки X — компактна множина, то для неї існує скінченна ε-сітка $N_{\epsilon }=\{a_{\epsilon }^{i}|i=1,...,s_{\epsilon }\}$ для будь-якого ε > 0. Виберемо і зафіксуємо довільну точку $b_{\epsilon }^{i}$ в кожній із множин $f(a_{\epsilon }^{i})$. Задамо тепер $s_{\epsilon }$ неперервних на X функцій $\theta _{\epsilon }^{i}$, що мають вигляд

$\theta _{\epsilon }^{i}(x)=\max\{\epsilon -\lVert x-a_{\epsilon }^{i}\rVert ,0\}\quad i=1,...s_{\epsilon }.$

Ці функції є невід'ємними і окрім того того, їх сума завжди є додатною оскільки з означення ε-сітки для будь-якого x маємо $\epsilon >\lVert x-a_{\epsilon }^{i}\rVert$ хоча б для одного i, так що для цього i маємо $\theta _{\epsilon }^{i}(x)>0.$. Виходячи з цього, можна побудувати $s_{\epsilon }$вагових функцій

$w_{\epsilon }^{i}(x)={\frac {\theta _{\epsilon }^{i}(x)}{\sum _{j=1}^{s_{\epsilon }}\theta _{\epsilon }^{j}(x)}}\quad i=1...s_{\epsilon }.$

Користуючись ваговими функціями $w_{\epsilon }^{i}(x),$ визначимо однозначне неперервне відображення $f_{\epsilon }(x)$ за допомогою формули

$f_{\epsilon }(x)=\sum _{j=1}^{s_{\epsilon }}w_{\epsilon }^{i}(x)b_{\epsilon }^{i}.$

З умов $b_{\epsilon }^{i}\in X\quad (i=l,...,s_{\epsilon }),\,w_{\epsilon }^{i}(x)\geqslant 0,\sum w_{\epsilon }^{i}(x)=l$ і з опуклості множини X випливає, що $f(x)\in X$. Таким чином, при будь-якому ε > 0 ми маємо однозначне неперервне відображення $f_{\epsilon }:X\to X$. По теоремі Брауера про нерухому точку у цього відображення є нерухома точка $x_{\epsilon }$.

Побудуємо такі ж функції і точки для послідовності додатних чисел $\{\epsilon _{\nu }\}$ для якої $\lim \epsilon _{\nu }=0.$ Оскільки множина X є компактною відповідна послідовність нерухомих точок $\{x_{\epsilon _{\nu }}\}$(для яких $x_{\epsilon _{\nu }}=f(x_{\epsilon _{\nu }}),$ містить підпослідовність, що збігається до деякої границі ${\bar {x}}$. Тому можна вважати, що обрана послідовність $\{\epsilon _{\nu }\}$ додатних чисел задовольняє умовам

1. $\lim _{\nu \to \infty }\epsilon _{\nu }=0,$
2. $\lim _{\nu \to \infty }x^{\epsilon _{\nu }}={\bar {x}},$
3. $x_{\epsilon _{\nu }}=f(x_{\epsilon _{\nu }}).$

Тоді ${\bar {x}}$ є нерухомою точкою відображення f. Для доведення цього розглянемо множину $O_{\delta }=f({\bar {x}})+U_{\delta }$, де $U_{\delta }=\{u|\lVert u\rVert <\delta \}$ при $\delta >0$. Якщо при будь-якому $\delta >0$ виявиться, що ${\bar {x}}\in O_{\delta }$, то звідси буде випливати, що ${\bar {x}}\in f({\bar {x}})$ через замкнутість множини $f({\bar {x}})$ в X.

Множина $O_{\delta }$ є відкритою множиною, що містить множину $f({\bar {x}}),$ оскільки вона є об'єднанням відкритих множин $O_{\delta }=\bigcup _{x\in f({\bar {x}})}(x+U_{\delta }).$ Також вона є опуклою оскільки вона є векторною сумою двох опуклих множин $f({\bar {x}})$ і $U_{\delta }.$

Відображення f є напівнеперервним зверху і тому з того, що $O_{\delta }$ — відкрита множина, що включає $f({\bar {x}})$ випливає, що існує ε-окіл V_ε точки ${\bar {x}}$, для якого $f(V_{\epsilon })\subset O_{\delta }.$ Зважаючи на властивості послідовності $\{\epsilon _{\nu }\}$ для досить великих $\nu$ маємо $\epsilon _{\nu }<\epsilon /2$ і $x_{\epsilon _{\nu }}\in V_{\epsilon /2}$. При цьому виконання нерівності $w_{\epsilon _{\nu }}^{i}(x_{\epsilon _{\nu }})>0$ означає, що

$\lVert x_{\epsilon _{\nu }}-a_{\epsilon _{\nu }}^{i}\rVert <\epsilon _{\nu }<\epsilon /2$

і

$\lVert {\bar {x}}-a_{\epsilon _{\nu }}^{i}\rVert \leqslant \lVert {\bar {x}}-x_{\epsilon _{\nu }}\rVert +\lVert x_{\epsilon _{\nu }}-a_{\epsilon _{\nu }}^{i}\rVert <\epsilon .$

В результаті при всіх досить великих $\nu$ маємо $a_{\epsilon _{\nu }}^{i}\in V_{\epsilon }$ для кожного i для якого $w_{\epsilon _{\nu }}^{i}(x_{\epsilon _{\nu }})>0.$ Звідси випливає що

$b_{\epsilon _{\nu }}^{i}\in f(a_{\epsilon _{\nu }}^{i})\subset f(V_{\epsilon })\subset O_{\delta }$

Тоді враховуючи що $x_{\epsilon _{\nu }}=\sum w_{\epsilon _{\nu }}^{i}(x_{\epsilon _{\nu }})b_{\epsilon _{\nu }}^{i}.$ точка $x_{\epsilon _{\nu }}$ при досить великих $\nu$ є опуклою лінійною комбінацією тільки тих точок $b_{\epsilon _{\nu }}^{i},$ які належать $O_{\delta }$ і оскільки множина є опуклою, то $x_{\epsilon _{\nu }}\in O_{\delta }.$ Спрямовуючи $\nu$ до нескінченності отримуємо, що ${\bar {x}}\in {\overline {O_{\delta }}}.$ Звідси ${\bar {x}}\in O_{\delta }$ при будь-якому $\delta >0,$ і з наведених вище аргументів, ${\bar {x}}\in f({\bar {x}}).$

Див. також

• Рівновага Неша
• Теорема Брауера про нерухому точку

Література

• Х. Никайдо, Выпуклые структуры и математическая экономика. — Москва: Мир, 1972.
• Border, Kim C. (1989). Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press. ISBN 9780521265645.