Вектор електричної індукції

Вектор електричної індукції
Розмірність	${\mathsf {L}}^{-2}{\mathsf {T}}{\mathsf {I}}$
Формула	${\boldsymbol {D}}=\varepsilon _{0}{\boldsymbol {E}}+{\boldsymbol {P}}$
Позначення у формулі	${\boldsymbol {D}}$, $\varepsilon _{0}$, ${\boldsymbol {E}}$ і ${\boldsymbol {P}}$
Символ величини (LaTeX)	${\boldsymbol {D}}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Рекомендована одиниця вимірювання	coulomb per square metred і ampere second per square metred

Ве́ктор електри́чної інду́кції — кількісна характеристика електричного поля у суцільному середовищі.

$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$,

де $\mathbf {P}$ — вектор поляризації.

Здебільшого позначається латинською літерою $\mathbf {D}$.

Фізична суть

Слово «індукція» походить від латинського кореня, який означає наведення.

На заряд у суцільному середовищі з боку інших зарядів діють сили відмінні від сил у вакуумі. Причиною цього є поляризація середовища. Будь-який матеріал складається із електронів і йонів, які під дією зовнішнього поля зміщуються. В результаті ці наведені заряди створюють свої поля, згідно з принципом Лешательє-Брауна, реакція будь-якої системи на зовнішній влив намагається зменшити ефект цього впливу. Електричне поле, яке діє на пробний заряд з боку інших зовнішніх зарядів менше, ніж у випадку відсутності середовища.

Напруженість електричного поля, розрахована без врахування наведених зарядів і поляризації, й називається вектором електричної індукції у системі СГС. В системі ISQ вектор електричної індукції визначений із іншою розмірністю, ніж розмірність напруженості електричного поля, а тому результат розрахунку потрібно ще помножити на $\varepsilon _{0}$ — діелектричну проникність вакууму.

Зв'язок із електричним полем

Поляризація середовища викликана прикладеним електричним полем і залежить від його значення. Враховуючи цю залежність у формулі для вектора електричної індукції, можна знайти співвідношення між вектором електричної індукції й напруженістю електричного поля, яке називається матеріальним співвідношенням.

У лінійному наближенні (при слабких полях) поляризація пропорційна прикладеному електричному полю, й тоді можна записати

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$.

Коефіцієнт пропорційності $\varepsilon$ називається діелектричною сталою середовища.

У системі СІ, відповідно, $\varepsilon$ називають відносною діелектричною сталою, а величину $\varepsilon \varepsilon _{0}$, де $\varepsilon _{0}$ — так звана діелектрична проникність вакууму, абсолютною діелектричною сталою середовища.

Такий зв'язок отримав назву матеріального співвідношення. Найпростіше з матеріальних співвідношень наведене вгорі.

Загалом характер зв'язку між напруженістю електричного поля й вектором електричної індукції визначається поведінкою середовища. Цей зв'язок може бути нелокальним (тобто на значення поля в даній точці впливає поляризація сусідніх точок). Крім того, на значення поля в цей час часу може впивати ступінь поляризації середовища в попередні моменти часу (це називається запізнюванням).

У випадку слабких полів зв'язок можна вважати лінійним і для сталих полів, нехтуючи ефектами нелокальності) характеризувати діелектричною проникністю ${\hat {\varepsilon }}$. Загалом діелектрична проникність — тензор, але у випадку ізотропного середовища зводиться до скаляра. Лише тоді справедлива наведена формула.

Третє рівняння Максвелла

Для вектора електричної індукції справедливе третє рівняння Максвелла. У диференційній формі воно записується як

${\text{div}}\ \mathbf {D} =4\pi \rho _{free}$,

де $\rho _{free}$ — густина вільних зарядів. (Формула записана в системі СГС).

Ця формула цілком аналогічна третьому рівнянню Максвелла для вакууму, за винятком того, що напруженість електричного поля заміняється на вектор електричної індукції, а густину зарядів на густину вільних зарядів.

Перше рівняння Максвелла

Вектор електричної індукції входить також у перше рівняння Максвелла, записаного для електричного й магнітного полів у середовищі.

${\text{rot}}\ \mathbf {H} ={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j}$.

В цій формулі $\mathbf {H}$ — це напруженість магнітного поля, $c$ — швидкість світла, $\mathbf {j}$ — густина струму. Рівняння записане в системі СГСГ.

Суть третього рівняння Максвелла в тому, що магнітне поле може створюватися або електричним струмом, або ж індукуватися змінним електричним полем.

У випадку полів у середовищі в перші рівняння Максвелла входить саме вектор електричної індукції, а не напруженість електричного поля, бо коливання зв'язаних зарядів враховані у струмі.

Поведінка на розривній границі

На різкій границі розділу двох середовищ рівняння Максвелла у диференційній формі не застосовні, оскільки неможливо визначити похідні від полів. В такому випадку записують Максвелівські граничні умови, одна з яких — неперервність нормальної складової вектора електричної індукції.

$D_{n}^{(1)}=D_{n}^{(2)}$

де верхні індекси позначають різні середовища.

Тангенційні складові вектора електричної індукції на різкій границі розривні.