Відносно компактна множина

У математиці відносно компактною підмножиною $Y$ топологічного простору $X$ називається підмножина, замикання якої є компактною множиною. Множина $Y$ із індукованою топологією також називається відносно компактним підпростором простору $X$ . Іноді також використовується термін предкомпактна множина чи простір але ці терміни використовуються і в інших значеннях.

Приклади і властивості

Оскільки замкнуті підмножини компактного простору є компактними, кожна підмножина компактного простору є відносно компактною.
У випадку метричної топології або, загалом, коли послідовності можуть бути використані для перевірки на компактність, критерієм відносної компактності є те, що будь-яка послідовність у $Y$ має підпослідовність збіжну в $X$ .
Повний метричний простір є відносно компактним тоді і тільки тоді, коли він є цілком обмеженим.
Підмножина у скінченновимірному евклідовому просторі $\mathbb {R}$ просторі є відносно компактною тоді і тільки тоді, коли вона є обмеженою.
У гаусдорфому просторі $X$ підмножина $Y$ є відносно компактною тоді і тільки тоді, коли вона міститься у деякій компактній підмножині простору.

В одну сторону доведення очевидне. Нехай тепер X — гаусдорфів простір і

K

компактна множина у

X

для якої

Y\subset K

. Оскільки в гаусдорфових просторах кожна компактна множина є замкнутою то

K

є замкнутою підмножиною

X

. Оскільки

K

є замкнутою множиною, що містить

Y

, то

{\bar {Y}}\subset K

. Оскільки кожна замкнута підмножина компактної множини є компактною, то

{\bar {Y}}

є компактною.

Окіл особливої точки нескінченного простору з точковмісною топологією може бути компактним, але не є відносно компактним, оскільки його замикання є рівним цілому простору, що не є компактним.
Теорема Асколі — Арцела. Для того, щоб сім'я ${\mathcal {F}}$ неперервних функцій визначених на відрізку $[a,b]$ була відносно компактною в $C[a,b]$ необхідно і достатньо, щоб ця сім'я була рівномірно обмеженою та рівностепенево неперервною
У комплексному аналізі велике значення має поняття нормальної сім'ї функцій, яка є відносно компактною множиною функцій щодо компактно-відкритої топології.