Нормальна сім'я функцій

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В математиці нормальною сім'єю функцій називається множина функцій заданих на деякому повному метричному просторі із значенням у іншому метричному просторі, для яких із кожної послідовності функцій можна вибрати підпослідовність, що буде рівномірно збіжною на всіх компактних підмножинах. Використовуючи топологічну термінологію, нормальною сім'єю є відносно компактна множина функцій щодо компактно-відкритої топології.

Поняття нормальної сім'ї функцій виникло і широко використовується у комплексному аналізі; зокрема важливими є нормальні сім'ї голоморфних і мероморфних функцій.

Означення для метричних просторів[ред. | ред. код]

Cім'я неперервних функцій заданих на деякому повному метричному просторі із значеннями у повному метричному просторі називається нормальною якщо кожна послідовність функцій із містить підпослідовність, яка збігається рівномірно на компактних множинах до неперервної функції з у . Тобто для кожної послідовності функцій з ,існує підпослідовність і неперервна функція з у , такі що для кожної компактної підмножини у :

де є метрикою повного метричного простору .

Нормальні сім'ї у комплексному аналізі[ред. | ред. код]

Голоморфні функції і відображення[ред. | ред. код]

Нехай — багатовимірні комплексні простори із стандартною метрикою заданою евклідовою нормою. Тобто, якщо і дві точки простору то .

Нехай — деяка сім'я голоморфних відображень з у , тобто композиція цих відображень із координатними функціями є голоморфними функціями багатьох комплексних змінних.

Сім'я відображень називається нормальною, якщо у вказаних метриках довільна послідовність відображень з цієї сім'ї містить підпослідовність, що збігається рівномірно на компактах. В цьому випадку граничним відображенням теж є голоморфне відображення. Тому означення нормальної сім'ї можна сформулювати по-іншому:

нормальна сім'я голоморфних відображень в області — сім'я голоморфних відображень комплексних змінних в області простору , така, що з будь-якої послідовності відображень з можна виділити підпослідовність , що рівномірно збігається на компактних підмножинах до голоморфного відображення.

Сім'я називається нормальною сім'єю в точці , якщо є нормальною в деякій кулі з центром в точці . Сім'я є нормальною в області тоді і тільки тоді, коли вона є нормальною в кожній точці . Будь-яка компактна сім'я голоморфних функцій є нормальною; обернене твердження є невірним.

Одним з головним критерієм нормальності у цьому випадку є теорема Монтеля:

Нехай — сім'я голоморфних відображень на відкритій підмножині . Якщо всі ці відображення є обмежені на компактах, тобто для кожної компактної підмножини існує дійсне число , таке що для всіх і всіх справедливою є нерівність , де норма є евклідовою нормою простору . Тоді сім'я функцій є нормальною.

Голоморфні функції із сферичною метрикою[ред. | ред. код]

Іншим важливим випадком при вивченні голоморфних функцій є коли на комплексній площині задана сферична або хордальна метрики. Ці метрики задаються на розширеній комплексній площині і завдяки її інтерпретації як сфери (сфери Рімана) через стереографічну проекцію. Тоді для двох точок розширеної комплексної площини у хордальній метриці відстань дорівнює евклідовій відстані між цими точками як точками на сфері Рімана у тривимірному просторі, а у сферичній метриці відстань — довжині коротшої дуги великого кола на сфері, що сполучає ці дві точки. Оскільки для довільних точок то для поняття рівномірної збіжності вони є еквівалентними. Для точок хордальну метрику можна записати як:

.

У випадку коли одна з точок рівна нескінченності .

Сім'я функцій голоморфних в області в області простору називається нормальною, якщо з сферичною (чи еквівалентно хордальною) метрикою довільна послідовність функцій з цієї сім'ї містить підпослідовність, що збігається рівномірно на компактах.

Еквівалентно можна дати означення: нормальна сім'я голоморфних функцій в області — сім'я однозначних голоморфних функцій комплексних змінних в області простору , така, що з будь-якої послідовності функцій з можна виділити підпослідовність , що рівномірно на компактах у до голоморфної функції або до нескінченності. При цьому, за визначенням, підпослідовність рівномірно збігається на компактах у до нескінченності, якщо для будь-яких компакта і числа можна вказати такий номер , що для всіх .

Очевидно, що це означення нормальної сім'ї голоморфних функцій є ширшим, ніж попереднє і для нього теж виконується теорема Монтеля. Також аналогічно до попереднього вводиться поняття нормальності у точці.

Друга теорема Монтеля або фундаментальний критерій нормальності:

Якщо для сім'ї голоморфних функцій в області жодна з функцій не є рівною деяким двом значенням, то є нормальною сім'єю в . Ця ознака нормальності сім'ї значно спрощує дослідження голоморфних функцій в околі істотно особливої точки.

Мероморфні функції[ред. | ред. код]

Оскільки сферична і хордальна метрики визначені для розширеної комплексної площини (сфери Рімана), то попереднє означення має зміст і для мероморфних функцій.

Сім'я функцій мероморфних в області називається нормальною, якщо з сферичною (чи еквівалентно хордальною) метрикою довільна послідовність функцій з цієї сім'ї містить підпослідовність, що збігається рівномірно на компактах.

Еквівалентно є нормальною сім'єю мероморфних функцій в , якщо з будь-якої послідовності функцій з можна виділити підпослідовність , що збігається рівномірно на компактах у до мероморфної функції або до нескінченності. При цьому, за визначенням, збігається до рівномірно всередині (випадок включається), якщо для будь-яких компакта і числа існують номер і круг радіуса з центром в будь-якій точці такі, що при виконується , коли , або

коли .

Друга теорема Монтеля або фундаментальний критерій нормальності:

Якщо для сім'ї мероморфних функцій в області ні одна з функцій не є рівною деяким трьох значенням, то є нормальною сім'єю.

Теорема Марті

Сім'я мероморфних функцій є нормальною сім'єю в області тоді і тільки тоді, коли

на кожному компакті , де : — так звана сферична похідна функції .

Лема Зальцмана

Сім'я мероморфних функцій в області не є нормальною сім'єю тоді і тільки тоді коли існують такі числа дійсні числа , що збігаються до нуля і функції для яких функції визначені як збігаються на комплексній площині рівномірно на компактах (у сферичній чи хордальній метриці) до мероморфної функції , що не дорівнює константі і для якої сферична похідна завжди не більша 1 і дорівнює 1 в точці 0.

Теорема Ройдена

Нехай — сім'я мероморфних функцій в області і зростаюча функція де . Якщо для всіх і виконується нерівність , то є нормальною сім'єю в області .

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Монтель П., Нормальные семейства аналитических функций, пер. с франц., М.— Л., 1936 (рос.)
  • Chi-Tai Chuang (1993). Normal Families of Meromorphic Functions. World scientific. ISBN 978-981-02-1257-5. 
  • Gamelin, Theodore W. (2001). Complex analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95069-9. 
  • Scheidemann, Volker (2005). Introduction to complex analysis in several variables. Birkhauser. ISBN 3-7643-7490-X. 
  • J. L. Schiff (1993). Normal Families. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97967-0.