У теорії груп вільним добутком груп називається нова група, що породжується елементами своїх множників і містить їх, як свої підгрупи. Операція вільного добутку груп має важливе значення у комбінаторній теорії груп і алгебричній топології.
Вільним добутком множини груп
, називається група
, породжена елементами груп
.
Кожен елемент вільного добутку
, що не дорівнює одиниці єдиним чином можна записати у вигляді нескоротного слова
, де кожен елемент
є неодиничним елементом деякої групи
і два сусідні елементи в слові належать різним групам. Добутком при цьому є слово, що отримується внаслідок конкатенації двох слів і подальшого зведення. Зведення полягає в тому, що якщо в слові зустрічаються підряд два елемента, що належать одній групі
то вони заміняються своїм добутком у групі якій вони належать. Якщо добутком є одиничний елемент то його треба вилучити. Одиницею в групі можна вважати пусту стрічку.
Для позначення вільного добутку використовується знак
, наприклад
або
для скінченної множини
.
Нехай
- групи. Розгляньмо множину
, яка складається з ланцюжків (слів) вигляду
де
Розгляньмо відношення еквівалентності, породжене співвідношеннями
якщо
та
якщо
Іншими словами, у кожному слові усі комбінації виду
можна замінити на
a
на
Множина класів еквівалентності позначається
Слова можна множити:
Такий добуток є асоціативним. Таким чином,
відповідно,
- це група. Група
є вільним добутком (амальгамою, або кодобутком) груп
Нехай тепер
складається із слів вигляду
складених з букв
. Відношення еквівалентності, породжене даними відношеннями
якщо
(можна викинути із слова букву
якщо
), та
якщо
(можна згрупувати послідовно розташовані букви
у
якщо вони обидві належать одній і тій самій групі
).
Добуток на зворотний елемент у
визначаються тими самими формулами, що й для
. [1]
Конструкція вільного добутку є важливою у вивченні груп, заданих множиною породжуючих елементів і визначальних співвідношень. У цих термінах вільний добуток може бути визначений в такий спосіб.
Нехай кожна група
задана множинами
породжуючих елементів і
визначальних співвідношень
Нехай також
Тоді вільний добуток цих груп може бути заданий як
тобто множинами породжуючих елементів і визначальних співвідношень є об'єднанням відповідних множин добутків.
Якщо G є циклічною групою порядку 4,
![{\displaystyle G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d2fd0b6b26e9660ab8eb7977f795e774dbc6f90)
і H є циклічною групою порядку 5
![{\displaystyle H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73acca631e46306bbd51baa7157a1d82375bc0ae)
Тоді група G ∗ H є нескінченною групою заданою як
![{\displaystyle G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454bf04b14cfdc33979da79ad7b923ff65546cf5)
Оскільки у вільній групі немає визначальних співвідношень, то вільний добуток довільної множини вільних груп теж є вільною групою. Зокрема,
![{\displaystyle F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db8aef3404358af77a1317abd3eeb292d057c93)
де Fn позначає вільну групу з n породжуючими елементами.
Модулярна група
є ізоморфною вільному добутку двох циклічних груп:
![{\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )=(\mathbf {Z} /2)\ast (\mathbf {Z} /3).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ca184dbed2a2aa99a2e8461b6d74efd4c499f4)
Вільний добуток
є ізоморфним нескінченній групі діедра
.
- Будь-яка сім'я гомоморфізмів
груп
в будь-яку групу
однозначно продовжується до гомоморфізму
для якого
де
позначає вкладення підгрупи
в групу
. Дана властивість є універсальною: якщо для деякої групи
і множини її підгруп
виконується дана властивість, то група
є вільним добутком множини груп
.
- Будь-яка підгрупа вільного добутку
сама розкладається у вільний добуток своїх підгруп, з яких деякі є нескінченними циклічними, а кожна з інших є спряженою з деякою підгрупою якої-небудь групи
, що входить у вільний розклад групи
. Дане твердження називається теоремою Куроша.
Вільний добуток з амальгамацією є узагальненням вільного добутку. Нехай G і H групи і
![{\displaystyle \varphi :F\rightarrow G,\;\;\psi :F\rightarrow H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e021ed327c3ff11d814122c08f8258d9fc9c394)
позначають гомоморфізми з деякої групи F. Вільний добуток з амальгамацією задається в той же спосіб, що і G ∗ H проте до множини визначальних співвідношень додаються також співвідношення виду
![{\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a7e7380e2a59d4ae0a223e5ca21fa3801b25bed)
для кожного елемента f групи F.
Аналогічно можна ввести добуток з амальгамацією для довільної множини добутків.
- ↑ Вербицкий Михаил Сергеевич - Начальный курс топологии в листочках: задачи и теоремы, сторінки 321-322.