В математиці, згортка Діріхле — бінарна операція визначена для арифметичних функцій, що широко використовується в теорії чисел. Названа на честь німецького математика Діріхле.
Якщо ƒ і g — арифметичні функції, можна визначити нову арифметичну функцію ƒ * g, згортку Діріхле функційƒ і g,
![{\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{d\,\mid \,n}f(d)g(n/d)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8eae28b1795042d72468f46bcccc5808e565505)
де сума береться по всіх дільниках d числа n.
Визначимо функцію
наступним чином:
![{\displaystyle E_{0}(n)=\left\{{\begin{matrix}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c72373a7941b8e4affa1c4b2ef97b786804cc3b4)
Визначимо тепер згортку Діріхле функції
і деякої арифметичної функції
![{\displaystyle {\begin{aligned}(E_{0}*f)(n)&=\sum _{d|n,d>0}{E_{0}(d)f(n/d)}\,\\&=E_{0}(1)f(n)+\sum _{d|n,d>1}{E_{0}(d)f(n/d)}\,\\&=1\cdot f(n)+\sum _{d|n,d>1}{0\cdot f(n/d)}\,\\&=f(n)+0=f(n).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77fd65cc4a3fa8987aac7a07f8e929d2ca8b6793)
Нехай функції
і
визначені наступним чином:
![{\displaystyle f(n)=n\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a3fca6cfef8a15844b1e4629b58e18769f31056)
![{\displaystyle g(n)=n^{2}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac11c14e4b5f67bc679d9276b3534ffffa60fff)
Знайдемо значення згортки Діріхле для аргументу
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(10)&=\sum _{d|10,d>0}{f(d)g(10/d)}\,\\&=f(1)\cdot g(10)+f(2)\cdot g(5)+f(5)\cdot g(2)+f(10)\cdot g(1)\\&=1\cdot 10^{2}+2\cdot 5^{2}+5\cdot 2^{2}+10\cdot 1^{2}\\&=100+50+20+10=180.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6951bba262c67a4fb8323bf066ce4bfd5cf580)
Множина арифметичних функцій утворює комутативне кільце, щодо операцій поточкового додавання і згортки Діріхле, де мультиплікативною одиницею є функція δ, що визначається δ(n) = 1 якщо n = 1 і δ(n) = 0, якщо n > 1.
Оборотними елементами цього кільця є арифметичні функції f для яких f(1) ≠ 0. Згортка Діріхле задовольняє такі властивості:
- Асоціативність:
![{\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54fdd4fd6c91968bea0fe90b1fa13e305e1b372c)
- Комутативність:
![{\displaystyle f*g=g*f\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab951eb4ba7b6eb4038db367b027d6c26f7aa107)
- Дистрибутивність:
![{\displaystyle f*(g+h)=f*g+f*h\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8efce4fb1158a50eee4560e4ba7b2ef813f7058)
Згортка Діріхле двох мультиплікативних функцій є мультиплікативною функцією. Кожна мультиплікативна функція має обернену Діріхле, що теж є мультиплікативною функцією.
Для арифметичної функції ƒ, рекурсивна формула для обчислення оберненої Діріхле має вигляд:
![{\displaystyle f^{-1}(1)={\frac {1}{f(1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b20e0657bbb2eb99a47731a140af6efeaa830a1)
для n > 1,
![{\displaystyle f^{-1}(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum _{d\,\mid \,n,\ d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)f^{-1}(d).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2dc9171641359724420ccd00500a0e7ff02af14)
Коли ƒ(n) = 1 для всіх n, тоді оберненою функцією є ƒ −1(n) = μ(n) — функція Мебіуса.
Якщо f — арифметична функція, відповідні їй ряди Діріхле визначаються формулою
![{\displaystyle DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6be1ab2e9cef9faa96b06d83700875f1820c8111)
для тих комплексних аргументів s для яких ряд збігається.При цьому виконується рівність:
![{\displaystyle DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5b7176c642416a9e9610fe3d5d2abe2274ee3d8)
для всіх s для яких обидва ряди зліва є збіжними, причому принаймні один абсолютно.
- Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
- Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-84903-9.