Локально зв'язаний простір
У топології топологічний простір називається локально зв'язаним у точці , якщо для будь-якого околу точки існує менший відкритий зв'язаний окіл , тобто . Простір називається локально зв'язаним, якщо він є локально зв'язаним у всіх своїх точках. Еквівалентно простір є локально зв'язаним, якщо для нього існує базис із відкритих зв'язаних підмножин.
Наступні твердження є еквівалентними:
- Топологічний простір є локально зв'язаним, згідно означення даного вище.
- Будь-яка компонента зв'язності довільного відкритого підпростору простору є відкритою підмножиною.
- Будь-яка відкрита підмножина, як топологічний простір, є диз'юнктивним об'єднанням своїх компонент зв'язності із диз'юнктивною топологією.
- Припустимо, що є локально зв'язаним, — відкрита підмножина і — її компонента зв'язності. Нехай . Тоді також і тому існує відкритий зв'язаний окіл точки . Цей окіл має бути підмножиною , оскільки є компонентою зв'язності .
- Тому є об'єднанням відкритих множин і теж є відкритою множиною. Тому з першого означення випливає друге.
- Припустимо тепер, що кожна компонента зв'язності довільної відкритої підмножини теж є відкритою множиною. Зокрема ми отримуємо відрите покриття простору компонентами зв'язності. Формуючи перетини із цим покриттям довільної відкритої підмножини в отримуємо, що довільна така підмножина є диз'юнктивним об'єднанням відкритих підмножин компонент зв'язності. Таким чином із другого означення випливає перше.
- Припустимо, що будь-яка відкрита підмножина є диз'юнктивним об'єднанням своїх компонент зв'язності. Нехай — точка і — її окіл. За означенням містить відкритий окіл точки і згідно припущення цей окіл є диз'юнктивним об'єднанням своїх компонент зв'язності, що є відкритими підмножинами. Одна з цих підмножин містить і задовольняє вимоги з означення локальної зв'язності.
- Будь-яка відкрита підмножина локально зв'язаного простору є локально зв'язаним простором.
- Будь-яка компонента зв'язності локально зв'язаного простору є відкрито-замкнутою.
- Будь-який компактний локально зв'язаний простір має скінченну кількість компонент зв'язності.
- Якщо простір є локально зв'язаним, а відображення — неперервне, відкрите і сюр'єктивне. Тоді теж є локально зв'язаним.
- Нехай — довільна точка і — будь-який окіл точки . Із неперервності відображення випливає, що є околом точки . Згідно локальної зв'язаності простору існує відкритий зв'язаний окіл точки , що є підмножиною . Зважаючи на неперервність і відкритість відображення , множина теж є відкритою і зв'язаною і також очевидно . Тобто вимоги локальної зв'язаності виконуються.
- Нехай — деяка сім'я топологічних просторів і їх добуток є локально зв'язаним. Тоді усі простори теж є локально зв'язаними, оскільки кожна проєкція на множник є неперервним відкритим сюр'єктивним відображенням.
- Довільний скінченний добуток локально зв'язаних просторів є локально зв'язаним простором. Для нескінченного добутку це твердження не є правильним. Прикладом може бути простір .
- Натомість якщо є сім'єю локально зв'язаних і також зв'язаних топологічних просторів, то їх добуток є локально зв'язаним.
- Фактор-простір локально зв'язаного топологічного простору теж є локально зв'язаним.
- Нехай — відображення на фактор-простір і — відкритий окіл точки . Позначимо компоненту зв'язності , що містить точку ; достатньо довести, що є відкритою підмножиною . Для цього достатньо довести, що є відкритою підмножиною . Нехай . Оскільки є локально зв'язаним, компонента зв'язності точки у є відкритою і підмножина є зв'язаною; тому (оскільки є компонентою зв'язності що містить ). Тому , і точка є внутрішньою у . Зважаючи на довільність вибору точки множина є відкритою, що завершує доведення.
- Простір є локально зв'язаним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого сімейства підмножин має місце включення , де — межа множини, a позначає замикання множини .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Topologist%27s_sine_curve.svg/220px-Topologist%27s_sine_curve.svg.png)
- Для додатного цілого числа , евклідів простір є локально зв'язаним і зв'язаним.
- Підпростір дійсної прямої є локально зв'язаним але не зв'язаним.
- Стандартним прикладом простору, що є зв'язаним але не локально зв'язаним є синус тополога.[1] Цей простір є підмножиною точок на площині із індукованою топологією.
- Простір не є локально зв'язаним і не є зв'язаним.
- Будь-який локально лінійно зв'язаний простір є локально зв'язаним.
- Зліченна множина із кофінітною топологією (в якій замкнутими множинами є скінченні множини і весь простір) є локально зв'язаною але не локально лінійно зв'язаною.[2]
- Будь-який повний метричний локально зв'язаний простір є локально лінійно зв'язаним (теорема Мазуркевича — Мура — Менгера)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/Infinite_broom.svg/220px-Infinite_broom.svg.png)
Простір X називається слабко локально зв'язаним у точці x якщо для кожного околу V точки x існує зв'язаний але не обов'язково відкритий окіл N точки x, що є підмножиною V .
Простір X називають слабко локально зв'язаним якщо він є слабко локально зв'язаним у всіх точках x. Насправді проте поняття слабкої локальної зв'язаності для всього простору є еквівалентним поняттю локальної зв'язаності.
Теорема
Якщо X є слабко локально зв'язаним простором, то він є локально зв'язаним.
Доведення
Нехай U є відкритою підмножиною X, C — компонента зв'язності U і x — елемент C. Тоді існує зв'язаний окіл A точки x у X, що є підмножиною U. Оскільки A є зв'язаною підмножиною і містить x, A є підмножиною C. Згідно з означенням околу існує відкрита множина V , що містить x і є підмножиною A і тому підмножиною C. Тому точка x є внутрішньою у C. Оскільки точка x була довільною то C є відкритою множиною. Тобто довільна компонента зв'язності довільної відкритої підмножини є відкритою і тому X є локально зв'язаним.
Натомість простір може бути слабко локально зв'язаним у точці але не локально зв'язаним у ній. Прикладом може бути простір утворений із нескінченної послідовності просторів, що називаються замкнутою нескінченною мітлою. Замкнутою нескінченною мітлою називається об'єднання відрізків на площині, що сполучають точку (0,0) із точками з координатами (1, 1/n) для всіх натуральних чисел n, а також з точкою (1,0).
Нескінченна послідовність отримується якщо замість точки (0,0) брати послідовно точки виду ((n-1)/n,0) для всіх натуральних чисел і пропорційно зменшити замкнуту нескінченну мітлу так, щоб горизонтальний відрізок мав довжину .
Вставивши послідовно ці простори у відповідні точки отримаємо зв'язаний топологічний простір , що є об'єднанням нескінченної кількості пропорційно зменшених копій замкнутої нескінченної мітли. У точці (1,0) цей прості є слабко локально зв'язаним але не є локально зв'язаним[3].
- Локально зв'язаний простір [Архівовано 5 січня 2018 у Wayback Machine.] у проекті nLab.
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
- Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47222-5 (англ.)
- Isadore Singer, John A. Thorpe (1967), Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology, Springer-Verlag ISBN 0-387-90202-3 (англ.)
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Mineola, NY: Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-68735-3, MR 1382863(англ.)