Метрика (математика)

Ілюстрація порівняння манхеттенської метрики з евклідовою метрикою на площині: шляхи (червоний, жовтий і синій) мають однакову довжину (12) у манхеттенський метриці. А в евклідовій метриці, зелений шлях має довжину $6{\sqrt {2}}\approx 8.49$ і це єдиний найкоротший шлях.

Метрика або функція відстані в математиці, — це функція, яка визначає відстань між кожною парою елементів множини. Множина з метрикою називається метричним простором. Метрика індукує топологію на множині, але не всі топології можуть бути породжені метрикою.Топологічний простір, чия топологія описана метрикою називається метризовним.

Важливим джерелом метрик в диференціальній геометрії є метричний тензор, білінійні форми, якого можуть бути визначені як скаляр на дотичних векторах на диференційовному многовиді. За допомогою метричного тензору через інтегрування можна визначити довжину кривих і тим самим задати метрику. Однак, не кожну метрику можна отримати з метричного тензору у такій спосіб.

Визначення

Метрика множині X — це функція (називають функція відстані або просто відстань)

$d:X\times X\to [0,\infty )$,

де $[0,\infty )$ — множина невід'ємних дійсних чисел і для всіх $x,y,z\in X$, виконуються наступні умови:

1.	$d(x,y)\geqslant 0$	не від'ємність
2.	$d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$	тотожність
3.	$d(x,y)=d(y,x)$	симетричність
4.	$d(x,z)\leqslant d(x,y)+d(y,z)$	субадитивність або нерівність трикутника

Умови 1 та 2 визначають додатньо-визначену функцію. Метрика називається ультраметрикою, якщо вона задовольняє більш сильному варіанту нерівності трикутника, коли немає точок між іншими точками:

$d(x,z)\leqslant \max(d(x,y),d(y,z))$

для всіх $x,y,z\in X$

Метрика d на X називається внутрішньою метрикою, якщо будь-яку пару точок x та y в X можна з'єднати кривою з довжиною довільно близькою до d(x, y).

Для множин, на яких визначено додавання + : X × X → X, d називають трансляційною інваріантною метрикою, якщо

$d(x,y)=d(x+a,y+a)$

для всіх $x,y,a\in X$.

Див. також

• Повний метричний простір