Поризм Понселе

Поризм Понселе — класична теорема проєктивної геометрії. Названий на честь Жан-Віктора Понселе.

Історія

Поризм Понселе відкрив французький математик Жан-Віктор Понселе в 1812—1814 роках, коли він перебував у полоні в Саратові. Там він написав (переважно) свій трактат про проєктивні властивості фігур, а також трактат з аналітичної геометрії (сім зошитів, виданих згодом — у 1862—1864 роках — під назвою «Applications d’Analyse et de Géometrie»)^{[джерело?]}.

Окремий випадок для трикутників випливає з теореми Ейлера.

Формулювання

Нехай $A_{1}A_{2}\ldots A_{n}$ — многокутник з $n$ різними вершинами, вписаний у коніку $C$ та описаний навколо іншої коніки $\Gamma$. Тоді для будь-яких точок $B_{1},B_{2}$ коніки $C$, таких, що $B_{1}\neq B_{2}$ і $B_{1}B_{2}$ дотикається $\Gamma$, існує многокутник $B_{1}B_{2}\ldots B_{n}$, вписаний у $C$ та описаний навколо $\Gamma$.

Зауваження

• Якщо коніка є колом, многокутники, вписані в одне коло й описані навколо іншого називають біцентричними многокутниками, так що це — особливий випадок поризму Понселе, який можна виразити лаконічно, враховуючи, що кожен біцентричний многокутник є частиною нескінченної множини біцентричних многокутників відносно одних і тих самих двох кіл^{:p. 94}.

Алгебричне доведення

Розглянемо множину пар вигляду «крапка на зовнішній коніці й дотична, проведена з неї до внутрішньої». Цю множину можна визначити алгебричним рівнянням у добутку проєктивної площини і двоїстої до неї (тобто множини прямих на початковій площині), який є проєктивним завдяки вкладенню Сегре. Зрозуміло, що в загальній конфігурації отриманий алгебричний многовид буде невиродженою кривою. Обчислимо її рід за формулою Рімана — Гурвіца: цей многовид природно (відображенням забування прямої) проєктується на зовнішній конічний перетин, причому над спільною точкою висітиме два прообрази, і тільки в чотирьох точках — точках перетину конічних перерізів, існування яких гарантується теоремою Безу, — він має один прообраз, тобто він розгалужений у цих чотирьох точках, і лише в них. Отже, ейлерова характеристика накривної кривої дорівнює $2(2-4)+4=0$, тобто крива має рід 1 і, в силу невиродженості, є еліптичною кривою.

Стартуватимемо з якоїсь точки, проводячи дотичні. Маючи виділену точку старту та напрямок обходу, ми отримуємо послідовність пар типу «точка на зовнішній коніці та дотична, проведена з неї до внутрішньої». Зауважимо, що одній невиродженій точці на зовнішній коніці відповідають дві точки на еліптичній кривій (відповідні двом дотичним, що виходять з неї), і сума їх як точок еліптичної кривої дає відображення із зовнішньої коніки в еліптичну криву, яке є відображенням у точку, оскільки може бути піднятим на універсальну накривну — комплексну площину, де, через компактність сфери, воно буде обмеженим і, за теоремою Ліувіля, сталим. Отже, перекидання дотичної, що виходить з однієї точки, задається відображенням $x\mapsto \xi -x$, де $\xi$ — стала. Аналогічно, перекидання точки, що лежить на дотичній, має вигляд $x\mapsto \zeta -x$, а їх композиція, таким чином, має вигляд $x\mapsto \zeta -\xi +x$; але композиція — це побудова наступної сторони ланцюга за попередньою, і замикання ланцюга рівносильне тому, що $\zeta -\xi$ лежить у скруті еліптичної кривої як групи за додаванням, і, отже, не залежить від початкової точки; так само від неї не залежить і порядок скруту, тобто число кроків, за яке ланцюг замкнеться.

Варіації та узагальнення

Теорема Келі

Нехай $f$ — коло $x^{2}+y^{2}=1$, а $g$ — еліпс $ax^{2}+by^{2}=1$. Тоді умова зациклювання ланцюга задається в термінах ряду Тейлора функції ${\sqrt {(a^{2}+t)(b^{2}+t)(1+t)}}=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots$. (Кожен коефіцієнт $c_{i}$ обчислюється через $a$ і $b$ наприклад, $c_{0}=ab$.) А саме:

1. Ланцюг Понселе пари $f$ і $g$ зациклюється за $2m+1$ кроків тоді й лише тоді, коли

   ${\begin{vmatrix}c_{2}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m}\end{vmatrix}}=0.$

2. Ланцюг Понселе пари $f$ і $g$ зациклюється за $2m$ кроків тоді й лише тоді, коли

   ${\begin{vmatrix}c_{3}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m-1}\end{vmatrix}}=0.$

Теорема Шварца

Нехай $A_{0}A_{1}\dots$ — ланцюг Понселе. Позначимо через $\ell _{i}$ пряму $A_{i}A_{i+1}$ і розглянемо точки перетину $B_{i,j}=\ell _{i}\cap \ell _{j}$ . Тоді для будь-якого цілого $k$

1. Усі точки $B_{i,i+k}$ лежать одному конічному перерізі.
2. Усі точки $B_{i,k-i}$ лежать одному конічному перерізі.

Багатовимірний аналог

Алгебричне підтвердження теореми Понселе спирається на те, що перетин двох квадрик у тривимірному проєктивному просторі — це еліптична крива. 1972 року Майлз Рід у своїй дисертації довів узагальнення цього факту. Саме теорема Ріда стверджує, що многовид, який параметризує лінійні $(n-1)$-вимірні підпростори в $(2n+1)$-вимірному проєктивному просторі, що лежать на перетині двох $2n$-вимірних квадрик (за умови, що цей перетин неособливий), є якобієвим многовидом деякої гіпереліптичної кривої (розгалуженого подвійного накриття раціональної кривої). Цю гіпереліптичну криву можна побудувати як геометричне місце $(n-1)$-вимірних підпросторів на перетині двох квадрик, які перетинають деякий фіксований $(n-1)$-вимірний підпростір, що також лежить на перетині квадрик, за підпростором розмірності не менше $n-2$. Якщо ці квадрики зведені до головних осей (тобто мають однорідні рівняння

$z_{0}^{2}+z_{1}^{2}+\dots +z_{2n+1}^{2}=0,$

$b_{0}z_{0}^{2}+b_{1}z_{1}^{2}+\dots +b_{2n+1}z_{2n+1}^{2}=0$

для деяких коефіцієнтів $b_{0},b_{1},\dots b_{2n+1}$), то ця крива біраціонально ізоморфна кривій, заданій рівнянням

$y^{2}=(x-b_{0})(x-b_{1})\dots (x-b_{2n+1}).$

Донагі зауважив, що закон додавання на такому многовиді можна визначати геометрично. Саме, якщо $Q$ — якась квадрика з пучка, породженого нашими двома квадриками (позначимо їх як $Q_{1}$ і $Q_{2}$), $E_{1}$ і $E_{2}$ — два $n$-вимірних підпростори, що лежать на $Q$ і належать до одного й того ж зв'язного сімейства, і $E_{i}$ висікає на перетині двох квадрик два $(n-1)$-вимірних підпростори $\ell _{i1}$ і $\ell _{i2}$, то додавання однозначно визначається правилом $\ell _{11}+\ell _{12}=\ell _{21}+\ell _{22}$ (і вибором нуля). Наприклад, якщо $n=1$, додавання точок на еліптичній кривій визначається так. Виберемо точку $O$ як нуль. Для того, щоб додати точки $A$ і $B$, проведемо пряму $AB$ і розглянемо квадрику з пучка, на якій ця пряма лежить (така квадрика єдина і її можна побудувати, наприклад, як об'єднання січних прямої $AB$, що двічі перетинають еліптичну криву). Пряма $AB$, як твірна двовимірної квадрики, належить до однопараметричного зв'язного сімейства. Виберемо із цього сімейства пряму $p$, що проходить через точку $O$. Друга точка перетину прямої $p$ з еліптичною кривою і буде шуканою сумою $A+B$.

Див. також

• Поризм Штейнера — схоже твердження для ланцюжків кіл.
• Теорема Ейлера (планіметрія) включає окремий випадок поризму Понселе для $n=3$.

Література

• Bos, HJM; Kers, C.; Oort, F.; Raven, DW Poncelet's closure theorem. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289—364.

Посилання

• Живий кресленик.
• Марсель Берже. Геометрия: Пер. с французского. — М.: Мир, 1984. — т. 2, 16.6, с. 140—148.
• Табачников С. Л., Фукс Д. Б. Лекция 29 // Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 прим. — ISBN 978-5-94057-731-7.
• В. В. Прасолов. Доказательство теоремы Понселе по Дарбу Архівна копія від 27 лютого 2014 на Wayback Machine, Матем. просв., сер. 3, 5, МЦНМО, М., 2001, 140—144.
• Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе Архівна копія від 27 квітня 2016 на Wayback Machine, Літня школа «Сучасна математика», 2014 м. Дубна.