Біцентричний многокутник

Рівносторонній трикутник

Біцентричний дельтоїд

Біцентрична рівнобічна трапеція

Правильний п'ятикутник

У геометрії біцентричний многокутник — це описаний многокутник (многокутник, усі сторони якого дотичні до внутрішнього кола), який також є вписаним у зовнішнє коло, яке проходить через кожну його вершину. Усі трикутники та всі правильні многокутники біцентричні. З іншого боку, прямокутник з нерівними сторонами не є біцентричним, оскільки жодне коло не може дотикатися до всіх його чотирьох сторін.

Трикутники

Кожен трикутник біцентричний. У трикутнику радіуси r і R вписаного та описаного кола відповідно пов'язані рівнянням

${\frac {1}{R-x}}+{\frac {1}{R+x}}={\frac {1}{r}}$

де x — відстань між центрами кіл. Це одна з версій формули трикутника Ейлера.

Біцентричні чотирикутники

Не всі чотирикутники є біцентричними (мають як вписане, так і описане коло). Для даних двох кіл (одне в одному) з радіусами R і r, де $R>r$, опуклий чотирикутник, вписаний в одне з них і описаний навколо іншого, існує тоді й лише тоді, коли їхні радіуси задовольняють рівність

${\frac {1}{(R-x)^{2}}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$

де x — відстань між їхніми центрами. Ця умова (і аналогічні умови для многокутників вищого порядку) відома як теорема Фусса.

Многокутники з n > 4

Відома складна загальна формула співвідношення між радіусом описаного кола R, радіусом вписаного кола r і відстанню x між центром описаного кола та центром вписаного кола для будь-якого числа сторін n. Для деяких n:

$n=5:\quad r(R-x)=(R+x){\sqrt {(R-r+x)(R-r-x)}}+(R+x){\sqrt {2R(R-r-x)}},$

$n=6:\quad 3(R^{2}-x^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+x^{2})(R^{2}-x^{2})^{2}+16r^{4}x^{2}R^{2},$

$n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},$

де $p={\tfrac {R+x}{r}}$ і $q={\tfrac {R-x}{r}}.$

Правильні многокутники

Кожен правильний многокутник є біцентричним. У правильному многокутнику вписане й описане кола концентричні, тобто мають спільний центр, який також є центром правильного многокутника, тому відстань між центром вписаного й описаного кола завжди дорівнює нулю. Радіусом вписаного кола є апофема (найкоротша відстань від центра до сторони правильного многокутника).

Для будь-якого правильного многокутника співвідношення між довжиною ребра a, радіусом r вписаного кола та радіусом R описаного кола таке:

$R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {r}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}.$

Для деяких правильних многокутників, які можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки, маємо такі алгебричні формули для цих співвідношень:

$n\!\,$	$R\,{\text{і}}\,a\!\,$	$r\,{\text{і}}\,a\!\,$	$r\,{\text{і}}\,R\!\,$
3	$R{\sqrt {3}}=a\!\,$	$2r={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}\!\,$	$2r=R\!\,$
4	$R{\sqrt {2}}=a\!\,$	$r={\frac {a}{2}}\!\,$	$2r=R{\sqrt {2}}\!\,$
5	$R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=a\!\,$	$r\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\!\,$	$r({\sqrt {5}}-1)=R\!\,$
6	$R=a\!\,$	${\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=a\!\,$	${\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=R\!\,$
8	$R{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=a\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\,$	$r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\!\,$	$2r\left({\sqrt {2}}-1\right)=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\!\,$
10	$({\sqrt {5}}-1)R=2a\!\,$	$2r{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}=5a\!\,$	${\frac {2r}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}={\frac {R}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\!\,$

Отже, маємо такі десяткові наближення:

$n\!\,$		$R/a\!\,$		$r/a\!\,$		$R/r\!\,$
$3\,$		$0.577\,$		$0.289$		$2.000\,$
$4$		$0.707\,$		$0.500$		$1.414\,$
$5$		$0.851\,$		$0.688$		$1.236\,$
$6$		$1.000\,$		$0.866$		$1.155\,$
$8$		$1.307\,$		$1.207$		$1.082\,$
$10$		$1.618\,$		$1.539$		$1.051\,$

Поризм Понселе

Якщо два кола є вписаним і описаним колами окремого біцентричного n-кутника, то ці ж два кола є вписаним і описаним колами нескінченної кількості біцентричних n-кутників. Точніше, на кожній дотичній до внутрішнього з двох кіл можна побудувати біцентричний n-кутник, розмістивши вершини на прямій у точках, де вона перетинає зовнішнє коло, продовжуючи від кожної вершини вздовж іншої дотичної та повторюючи це до замкнення ламаної в n-кутник. Той факт, що так буде завжди, випливає з теореми про замикання Понселе, яка в загальнішому випадку застосовується до вписаних і описаних конік.

Крім того, якщо задано описане коло та вписане коло, кожна діагональ змінного многокутника є дотичною до фіксованого кола.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Біцентричний многокутник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.