1 − 2 + 3 − 4 + …

Перші 15 000 часткових сум ряду 0 + 1 − 2 + 3 − 4 + …

1 − 2 + 3 − 4 + … — знакопереміжний ряд, членами якого є цілі числа.

Часткова сума з номером m цього ряду описується виразом:

$\sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}.$

Такий нескінченний ряд є розбіжним, тобто часткові суми ряду не прямують ні до якої скінкінченої границі. Однак, у середині 18-го століття Леонард Ейлер запропонував вираз, який він охарактеризував як «парадоксальний»:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

Цей знакозмінний (а точніше — знакопереміжний) ряд тісно пов'язаний із рядом Гранді (1 − 1 + 1 − 1 + …). Ейлер трактував ці ряди як два окремих випадки ряду 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + …, який він вивчав для довільного n, працюючи над Базельською проблемою, і отримав функціональні рівняння для функцій, відомих нині як бета-функція Діріхле і дзета-функція Рімана.

Розбіжність

Члени послідовності (1, −2, 3, −4, …) не прямують до нуля, тому згідно необхідній умові збіжності ряд розходиться.

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

$\sum _{n=1}^{m}(-1)^{n-1}n\;\;={\frac {(-1)^{m-1}(2m+1)+1}{4}}$

Ця послідовність примітна тим, що в ній присутнє кожне ціле число — навіть нуль, якщо враховувати порожню часткову суму — і таким чином множина значень членів цієї послідовності є зліченною. Ця послідовність часткових сум показує, що ряд не сходиться ні до якого конкретного числа (для будь-якого x можна знайти член, після якого всі наступні часткові суми будуть перебувати за межами інтервалу $[x-1,x+1]$), отже, ряд розходиться.

Узагальнена сума

Леонард Ейлер запропонував вираз, який він охарактеризував як «парадоксальний»:

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

Математичний метод, який би дозволив інтерпретувати цей вираз, було розроблено набагато пізніше. Починаючи з 1890 року, Ернесто Чезаро, Еміль Борель та інші математики строго сформулювали методи отримання узагальнених сум розбіжних рядів, а також доповнили ідеї Ейлера новими інтерпретаціями. Більшість з цих методів для суми ряду дають результат послідовності 1 − 2 + 3 − 4 + …, що дорівнює ¹⁄₄. Підсумовування за Чезаро не дає змоги визначити суму ряду 1 − 2 + 3 − 4 + …. Таким чином, щоб отримати якусь узагальнену суму для цього ряду потрібен інший підхід, наприклад, застосування підсумовування методом Абеля.

Література

• Beals, Richard (2004). Analysis: An Introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2.
• Davis, Harry F. (May 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9.
• Euler, Leonhard; Willis, Lucas; Osler, Thomas J. (2006). Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series. The Euler Archive. Архів оригіналу за 11 вересня 2015. Процитовано 22 березня 2007. Originally published as Euler, Leonhard (1768). Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques. Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin. 17: 83—106.
• Ferraro, Giovanni (June 1999). The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics. Archive for History of Exact Sciences. 54 (2): 101—135. doi:10.1007/s004070050036.
• Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0.
• Hardy, G. H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. xvi+396. ISBN 978-0-8218-2649-2. LCCN 49005496. MR 0030620. OCLC 808787. 2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. ISBN 0-8284-0334-1.
• Kline, Morris (November 1983). Euler and Infinite Series. Mathematics Magazine. 56 (5): 307—314. doi:10.2307/2690371. JSTOR 2690371.
• Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0-674-92096-1.
• Saichev, A.I.; Woyczyński, W.A. (1996). Distributions in the Physical and Engineering Sciences, Volume 1. Birkhaüser. ISBN 0-8176-3924-1.
• Tucciarone, John (January 1973). The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925. Archive for History of Exact Sciences. 10 (1–2): 1—40. doi:10.1007/BF00343405.
• Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0-387-00836-5.
• Weidlich, John E. (June 1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384.