Ланцюгова лінія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Ланцюгова лінія при різних значеннях параметра

Ланцюгова лінія, катенарія — плоска трансцендентна крива, форму якої приймає під дією сили тяжіння гнучка однорідна і нерозтяжна нитка, кінці якої закріплені. Рівняння в прямокутних координатах:

y = a ~ \operatorname{ch} {x \over a} = {a \over 2}( e^{x/a}+e^{-x/a} )

де \operatorname{ch} — гіперболічний косинус.

Крива розташована симетрично відносно вісі OY. Довжина дуги:

L = a ~ \operatorname{sh} {x \over a} = {a \over 2}( e^{x/a}-e^{-x/a} )

де \operatorname{sh} — гіперболічний синус.

Радіус кривини:

R = y^2/a = a ~ \operatorname{ch}^2 {x \over a}

Площа:

S = aL = a^2 ~ \operatorname{sh}^2 {x \over a}

Поверхня, яка утворюється обертанням дуги ланцюгової лінії навколо вісі OX називається катеноїдом.

Ланцюгові лінії використовуються в розрахунках, пов'язаних з провисанням дротів і т. д. Форму кривої провисання вперше розглядав Г. Галілей (1638), який вважав її параболою. Справжня форма кривої знайдена Г. Лейбніцем, Я. і Й. Бернуллі, Х. Гюйгенсом (він же запропонував термін Ланцюгова лінія (1690).

Література[ред.ред. код]

  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 5./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1984.