Ланцюгова лінія

Ланцюгова лінія при різних значеннях параметра

Ланцюгова лінія — плоска трансцендентна крива, форму якої приймає під дією сили тяжіння гнучка однорідна і нерозтяжна нитка, кінці якої закріплені. Рівняння в прямокутних координатах:

$y = a ~ \operatorname{ch} {x \over a} = {a \over 2}( e^{x/a}+e^{-x/a} )$

де $\operatorname{ch}$ — гіперболічний косинус.

Крива розташована симетрично відносно осі $OY$. Довжина дуги:

$L = a ~ \operatorname{sh} {x \over a} = {a \over 2}( e^{x/a}-e^{-x/a} )$

де $\operatorname{sh}$ — гіперболічний синус.

Радіус кривини:

$R = y^2/a = a ~ \operatorname{ch}^2 {x \over a}$

Площа;

$S = aL = a^2 ~ \operatorname{sh}^2 {x \over a}$

Поверхня, яка утворюється обертанням дуги ланцюгової лінії навколо осі $OX$ називається катеноїдом.

Ланцюгові лінії використовуються в розрахунках, пов'язаних з провисанням дротів і т.д. Форму кривої провисання вперше розглядав Г. Галілей (1638), який вважав її параболою. Справжня форма кривої знайдена Г. Лейбніцем, Я. і Й. Бернуллі, Х. Гюйгенсом (він же запропонував термін Ланцюгова лінія (1690).

Література

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 5./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1984.