Ідемпотентність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Бенжамін Пірс

Ідемпотентність (лат. idem — такий самий, лат. potens — сильний) — властивість унарних та бінарних операцій в алгебрі. Термін «ідемпотентность» означає властивість математичного об'єкта, яка проявляється в тому, що повторна дія над об'єктом не змінює його. Термін запропонував американський математик Бенджамін Пірс в статтях 1870-х років.

Визначення[ред.ред. код]

  • Унарна операція чи функція називається ідемпотентною, якщо її застосування двічі до будь-якого значення аргументу дає таке ж значення, як і застосування один раз:
f(f(x)) = f(x). \!
  • Бінарна операція називається ідемпотентною, якщо для довільного елемента x\! виконується:
x \cdot x = x. \!

Закон ідемпотентності кон'юнкції та диз'юнкції[ред.ред. код]

Закон ідемпотентності — це закон математичної логіки, по якому з логіки виключаються коефіцієнти і показники ступенів.

Закон ідемпотентності можна отримати з закону поглинання, з використанням закону дистрибутивності:

a = a \lor (a \land b) = (a \lor a) \land (a \lor b) = (a \land (a \lor b)) \lor (a \land (a \lor b)) = a \lor a

Так логічне множення двох висловлювань a рівносильно a, тобто: a \land a \equiv a і читається так «a і a рівносильно a».

Закон ідемпотентності відносно диз'юнкції виводиться безпосередньо із закону нуля та одиниці:

 a \lor a = (a \lor a) \land 1 = (a \lor a) \land (a \lor \bar a) = a \lor (a \land \bar a) = a \lor 0 = a

Логічне додавання двох висловлювань a, рівносильно a, тобто: a \lor a \equiv a і читається так «a або a рівносильно a».

Формулювання закону: повторення висловлювання через «і» та «або» рівносильне самому висловлюванню. Наприклад, «Марс — планета і Марс — планета» є те ж саме, що «Марс — планета»; « Сонце — зірка або Сонце — зірка» те ж саме, що «Сонце — зірка».

Наслідки ідемпотентності кон'юнкції та диз'юнкції[ред.ред. код]

  • Наслідками ідемпотентності диз'юнкції є рівність

 A  =  A \lor A  =  A \lor A \lor A  =  A \lor A \lor A \lor A  =  \dots

  • Наслідками ідемпотентності кон'юнкції є рівність А = АА = ААА = АААА =…

В алгебрі логіки можна обходитися без степенів. Всі «степені» висказування А рівні самому А (звідси літерний сенс слова ідемпотентність).

Приклади ідемпотентних операцій[ред.ред. код]

a = a \lor a = a\lor a \lor a = ...
a = a \land a = a \land a \land a = ...

тому будь яку константу можна розмножити

A_k = ( B(1), \cup, \cap, \bar .)

Носієм якої є булеан універсальної множини 1, сигнатурою — операції об'єднання \cup , перетину \cap та доповнення \bar .. Закон ідемпотентності об'єднання та перетину виконується для операції алгебри Кантора:

 M_a \cup  M_a = M_a
 M_a \cap M_a = M_a
  • Ідемпотентна операція в інформатиці — дія, багаторазове повторення якої призводить до тих же змін, що й при одноразовому.

Прикладом такої операції можуть служити GET- запити в протоколі HTTP. По специфікації сервер повинен повертати одні й ті ж відповіді на ідентичні запити (за умови що ресурс не змінився між ними з інших причин). Така особливість дозволяє кешувати відповіді, знижуючи навантаження на мережу

Елемент[ред.ред. код]

Варіант: Ідемпотентний елемент  — елемент e напівгрупи або кільця, рівний своєму квадрату: e^2=e.

  • Ідемпотентний елемент e містить ідемпотентний елемент f (позначається e\geqslant f), якщо ef=e=fe.
    • Для асоціативних кілець і напівгруп відношення \geqslant є відношенням часткового порядку в множині E ідемпотентних елементів і називається природним частковим порядком на множині E.
  • Два ідемпотентних елемента u та v кільця називаються ортогональними, якщо u v = 0 = v u.

Прикладні приклади[ред.ред. код]

Прикладні приклади, з якими багато людей змогло зіткнутися в їх щоденному житті, включаючи кнопки виклику ліфта і кнопки переходу. Початкова активація кнопки переміщає систему в очікування. Подальші активації кнопки між початковою активацією і запитом, що задовольняється, не мають ніякого ефекту.

Лінійний оператор[ред.ред. код]

Ідемпотентний лінійний оператор — те саме, що і проектор.


Для простору нескінченної розмірності

A =\int_{\sigma} \lambda P(d\lambda)

де σ — спектр A, а P — ідемпотентний оператор.

Див. також[ред.ред. код]