Математична логіка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Математи́чна ло́гіка - розділ математики, що вивчає мислення за допомогою числень застосовуючи математичні методи та спеціальний апарат символів. Предметом математичної логіки є математичні теорії в цілому, які вивчаються за допомогою логіко-математичних мов. При цьому в першу чергу цікавляться питаннями несуперечливості математичних теорій, їх розв'язності та повноти.

Історія[ред.ред. код]

Математична логіка по суті є формальною логікою, що використовує математичні методи. Формальна логіка вивчає акти мислення (поняття, судження, умовиводи, доведення) з точки зору їх форми, логічної структури, абстрагуючись від конкретного змісту. Творцем формальної логіки є Арістотель, а першу завершену систему математичної логіки на базі строгої логіко-математичної мови — алгебру логіки, — запропонував Джордж Буль (18151864). Логіко-математичні мови і теорія їх смислу розвинуті в роботах Готлоб Фреге (18481925), який ввів поняття предикату і кванторів. Це надало можливість застосувати логіко-математичні мови до питань основ математики. Виклад цілих розділів математики на мові математичної логіки та аксіоматизація арифметики зроблені Джузеппе Пеано (18581932). Грандіозна спроба Г.Фреге та Бертран Рассел (18721970) зведення всієї математики до логіки не досягла основної мети, але привела до створення багатого логічного апарату, без якого оформлення математичної логіки як повноцінного розділу математики було б неможливе.

На межі 19 століття-20 ст. були відкриті парадокси, зв'язані з основними поняттями теорії множин (найвідомішими є парадокси Георг Кантор та Б. Рассела). Для виходу з кризи Л. Брауер (18811966) висунув інтуїціоністську програму, в якій запропонував відмовитися від актуальної нескінченності та логічного закону виключеного третього, вважаючи допустимими в математиці тільки конструктивні доведення. Інший шлях запропонував Давид Гільберт (18621943), який в 20-х роках 20 ст. виступив з програмою обґрунтування математики на базі математичної логіки. Програма Гільберта передбачала побудову формально-аксіоматичних моделей (формальних систем) основних розділів математики та подальше доведення їх несуперечливості надійними фінітними засобами. Несуперечливість означає неможливість одночасного виведення деякого твердження та його заперечення. Таким чином, математична теорія, несуперечливість якої хочемо довести, стає предметом вивчення певної математичної науки, яку Давид Гільберт назвав метаматематикою, або теорією доведень. Саме з розробки Д. Гільбертом та його учнями теорії доведень на базі розвинутої в роботах Готлоб Фреге та Бертран Рассела логічної мови починається становлення математичної логіки як самостійної математичної дисципліни.

Застосування[ред.ред. код]

Сфера застосування математичної логіки дуже широка. З кожним роком зростає глибоке проникнення ідей та методів математичної логіки в інформатику, обчислювальну математику, лінгвістику, філософію. Потужним імпульсом для розвитку та розширення сфери застосування математичної логіки стала поява електронно-обчислювальних машин. Виявилося, що в рамках математичної логіки вже є готовий аппарат для проектування обчислювальної техніки. Методи і поняття математичної логіки є основою, ядром інтелектуальних інформаційних систем. Засоби математичної логіки стали ефективним робочим інструментом для фахівців багатьох галузей науки і техніки.

Див. також[ред.ред. код]

Інтернет ресурси[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Формальна логіка. (Підручник.) Частина друга. Символічна логіка. Відп. редактор: доц. І. Н. Бродський. - Л.: ЛГУ, 1977.
  • Марков А. А.. Елементи математичної логіки. М.: Изд-во МГУ, 1984.
  • Новиков П. С. Елементи математичної логіки. 2-ое вид. М.: Наука, 1973. - 400 с.
  • Столл Р. Р. Множини. Логіка. Аксіоматичні теорії. М.: Просвещение, 1968. - 232 с.
  • Стяжкин Н. І. Формування математичної логіки. М.: Наука, 1967. 508 з.
  • Шенфілд Дж. Математична логіка. М.: Наука, 1975.
  • С. І. Адян, Математична енциклопедія, М.: "Радянська енциклопедія", т.3, с. 568, 571.
  • Н. І. Кондаков, Логічний словник-довідник, М.: "Наука", 1975, с. 259.
  • С. К. Кліні, Математична логіка, М., 1973, с.12.
  • А. А. Марков, Велика радянська енциклопедія, Вид. 3, Предмет і метод сучасної логіки.


Основні розділи Математики
АлгебраДискретна математикаДиференціальні рівнянняГеометріяКомбінаторикаЛінійна алгебраМатематична логікаМатематична статистикаМатематичний аналізТеорія ймовірностейТеорія множинТеорія чиселТригонометріяМатематична фізикаТопологіяФункціональний аналізРекреаційна математика