Функції Бесселя

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Даніель Бернуллі
Фрідріх Бессель

Функції Бесселя в математиці — сімейство функцій, що є канонічними рішеннями диференціального рівняння Бесселя:

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,

де α — довільне дійсне число, зване порядком. Найчастіше використовувані функції Бесселя — функції цілих та напівцілих порядків.

Хоча α, і −α породжують однакові рівняння, зазвичай домовляються про те, щоб їм відповідали різні функції (це робиться, наприклад, для того, щоб функція Бесселя була гладкою по α).

Функції Бесселя вперше були визначені швейцарським математиком Даніелем Бернуллі, а названі на честь Фрідріха Бесселя.

Застосування[ред.ред. код]

Рівняння Бесселя виникає під час знаходження розв'язків рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндричних і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при розв'язуванні багатьох задач про поширення хвиль, статичні потенціали тощо, наприклад:

Функції Бесселя застосовуються і при розв'язуванні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.

Визначення[ред.ред. код]

Оскільки наведене рівняння є рівнянням другого порядку, у нього повинно бути два лінійно незалежних розв'язки. Проте залежно від обставин вибираються різні визначення цих розв'язків. Нижче наведені деякі з них.

Функції Бесселя першого роду[ред.ред. код]

Функціями Бесселя першого роду, що позначаються J_\alpha(x), є розв'язки, скінчені в точці x=0 при цілих або невід'ємних α. Вибір конкретної функції й її нормалізації визначаються її властивостями. Можна визначити ці функції за допомогою розкладання в ряд Тейлора біля нуля (або в загальніший степеневий ряд при нецілих α):

 J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}

Тут \Gamma(z) є гамма-функція Ейлера, узагальнення факторіалу на нецілі значення. Графік функції Бесселя схожий на синусоїду, коливання якої загасають пропорційно \frac{1}{\sqrt{x}}, хоча насправді нулі функції розташовані не періодично.

Нижче наведені графіки J_\alpha (x) для \alpha = 0, 1, 2:

Графік функції Бесселя першого роду J

Якщо α не є цілим числом, функції J_\alpha (x) і J_{-\alpha} (x) лінійно незалежні і, отже, є розв'язками рівняння. Але якщо α ціле, то правильне таке співвідношення:

J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,

Воно означає, що на разі функції лінійно залежні. Тоді другим розв'язком рівняння стане функція Бесселя другого роду (дивись нижче).

Інтеграли Бесселя[ред.ред. код]

Можна надати інше визначення функції Бесселя для цілих значень α, використовуючи інтегральне зображення:

J_\alpha (x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}\!\cos (\alpha \tau - x \sin \tau)\,d\tau

Цей підхід використовував Бессель, дослідивши за його допомогою деякі властивості функцій. Можливе і інше інтегральне зображення:

J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\!e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)}\,d\tau

Функції Бесселя другого роду[ред.ред. код]

Функції Бесселя другого роду — розв'язки Y_\alpha(x) рівняння Бесселя, нескінченні в точці x=0.

Y_\alpha(x) також іноді називають функцією Неймана (Ньюмана) і позначають як N_\alpha(x). Ця функція пов'язана з Jα(x) таким співвідношенням:

Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},

де у разі цілого α береться границя по α, обчислювана, наприклад, за допомогою правила Лопіталя.

Нижче приведені графіки Y_\alpha (x) для \alpha = 0, 1, 2:

Графік функції Бесселя другого роду Y

Властивості[ред.ред. код]

Асимптотика[ред.ред. код]

Для функцій Бесселя відомі асимптотичні формули. При малих аргументах (0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1}) і неівд'ємних α вони виглядають так:

J_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha
Y_\alpha(x) \rightarrow  \left\{ \begin{matrix}
  \frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right]  & \mbox{;}\quad\alpha=0 \\ \\
  -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{;}\quad\alpha > 0 
\end{matrix} \right.,

де \gammaстала Ейлера — Маскероні (0.5772.), а \Gammaгамма-функція Ейлера. Для великих аргументів (x \gg |\alpha^2 - 1/4|) формули виглядають так

J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
        \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)
Y_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} 
        \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).

Гіпергеометричний ряд[ред.ред. код]

Функції Бесселя можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію:

J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)}  {}_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4).

Таким чином, при цілих n функція Бесселя однозначна аналітична, а при нецілих — багатозначна аналітична.

Функції Бесселя як коефіцієнти рядів[ред.ред. код]

Існує представлення для функцій Бесселя першого роду і цілого порядку через коефіцієнти ряду Лорана функції певного вигляду, а саме

e^{\frac{z}{2}\left(w-\frac{1}{w}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(z)w^n

Дивись також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Ватсон Г., «Теория бесселевых функций» т. 1,2 М., ИЛ, 1949 г.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. «Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены». Справочная математическая библиотека М. Физматгиз 1966 г. 296 с.