Функції Бесселя

Даніель Бернуллі

Фрідріх Бессель

Функції Бесселя в математиці — сімейство функцій, що є канонічними рішеннями диференціального рівняння Бесселя:

$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0,$

де α — довільне дійсне число, зване порядком. Найчастіше використовувані функції Бесселя — функції цілих та напівцілих порядків.

Хоча α, і −α породжують однакові рівняння, зазвичай домовляються про те, щоб їм відповідали різні функції (це робиться, наприклад, для того, щоб функція Бесселя була гладкою по α).

Функції Бесселя вперше були визначені швейцарським математиком Даніелем Бернуллі, а названі на честь Фрідріха Бесселя.

Застосування

Рівняння Бесселя виникає під час знаходження розв'язків рівняння Лапласа і рівняння Гельмгольца в циліндричних і сферичних координатах. Тому функції Бесселя застосовуються при розв'язуванні багатьох задач про розповсюдження хвиль, статичні потенціали тощо, наприклад:

• електромагнітні хвилі в циліндровому хвилеводі;
• теплопровідність в циліндрових об'єктах;
• форми коливання тонкої круглої мембрани
• швидкість частинок в заповненому рідиною циліндрі, що обертається навколо своєї осі.

Функції Бесселя застосовуються і при розв'язуванні інших задач, наприклад, при обробці сигналів.

Визначення

Оскільки приведене рівняння є рівнянням другого порядку, у нього повинно бути два лінійно незалежних розв'язки. Проте залежно від обставин вибираються різні визначення цих рішень. Нижче приведені деякі з них.

Функції Бесселя першого роду

Функціями Бесселя першого роду, що позначаються $J_\alpha(x)$, є рішення, кінцеві в точці $x=0$ при цілих або невід'ємних α. Вибір конкретної функції і її нормалізації визначаються її властивостями. Можна визначити ці функції за допомогою розкладання в ряд Тейлора біля нуля (або в загальніший степеневий ряд при нецілих α):

$J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha}$

Тут $\Gamma(z)$ — це гамма-функція Ейлера, узагальнення факторіалу на нецілі значення. Графік функції Бесселя схожий на синусоїду, коливання якої затухають пропорційно $\frac{1}{\sqrt{x}}$, хоча насправді нулі функції розташовані не періодично.

Нижче приведені графіки $J_\alpha (x)$ для $\alpha = 0, 1, 2$:

Якщо α не є цілим числом, функції $J_\alpha (x)$ і $J_{-\alpha} (x)$ лінійно незалежні і, отже, є рішеннями рівняння. Але якщо α ціле, то вірно наступне співвідношення:

$J_{-\alpha}(x) = (-1)^{\alpha} J_{\alpha}(x)\,$

Воно означає, що в цьому випадку функції лінійно залежні. Тоді другим рішенням рівняння стане функція Бесселя другого роду (дивись нижче).

Інтеграли Бесселя

Можна дати інше визначення функції Бесселя для цілих значень α, використовуючи інтегральне представлення:

$J_\alpha (x) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\pi}\!\cos (\alpha \tau - x \sin \tau)\,d\tau$

Цей підхід використовував Бессель, вивчивши з його допомогою деякі властивості функцій. Можливо і інше інтегральне представлення:

$J_\alpha (x) = \frac{1}{2 \pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi}\!e^{i(\alpha \tau - x \sin \tau)}\,d\tau$

Функції Бесселя другого роду

Функції Бесселя другого роду — рішення $Y_\alpha(x)$ рівняння Бесселя, нескінченні в точці $x=0$.

$Y_\alpha(x)$ також іноді називають функцією Неймана (Ньюмана) і позначають як $N_\alpha(x)$. Ця функція пов'язана з Jα(x) наступним співвідношенням:

$Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},$

де у разі цілого α береться границя по α, обчислювана, наприклад, за допомогою правила Лопіталя.

Нижче приведені графіки $Y_\alpha (x)$ для $\alpha = 0, 1, 2$:

Властивості

Асимптотика

Для функцій Бесселя відомі асимптотичні формули. При малих аргументах $(0 < x \ll \sqrt{\alpha + 1})$ і неівд'ємних α вони виглядають так:

$J_\alpha(x) \rightarrow \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \left( \frac{x}{2} \right) ^\alpha$

$Y_\alpha(x) \rightarrow \left\{ \begin{matrix} \frac{2}{\pi} \left[ \ln (x/2) + \gamma \right] & \mbox{;}\quad\alpha=0 \\ \\ -\frac{\Gamma(\alpha)}{\pi} \left( \frac{2}{x} \right) ^\alpha & \mbox{;}\quad\alpha > 0 \end{matrix} \right.$,

де $\gamma$ — стала Ейлера — Маскероні (0.5772.), а $\Gamma$ — гамма-функція Ейлера. Для великих аргументів ($x \gg |\alpha^2 - 1/4|$) формули виглядають так

$J_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right)$

$Y_\alpha(x) \rightarrow \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin \left( x-\frac{\alpha\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \right).$

Гіпергеометричний ряд

Функції Бесселя можуть бути виражені через гіпергеометричну функцію:

$J_\alpha(z)=\frac{(z/2)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} {}_0F_1 (\alpha+1; -z^2/4).$

Таким чином, при цілих n функція Бесселя однозначна аналітична, а при нецілих — багатозначна аналітична.

Функції Бесселя як коефіцієнти рядів

Існує представлення для функцій Бесселя першого роду і цілого порядку через коефіцієнти ряду Лорана функції певного вигляду, а саме

$e^{\frac{z}{2}\left(w-\frac{1}{w}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}J_n(z)w^n$

Дивись також

• Циліндрові функції
• Сферичні функції

Література

• Ватсон Г., «Теория бесселевых функций» т. 1,2 М., ИЛ, 1949 г.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. «Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены». Справочная математическая библиотека М. Физматгиз 1966 г. 296 с.