G-область

У математиці, G-областю або областю Гольдмана називається область цілісності A для якої поле часток є скінченнопородженою алгеброю над A. Названі на честь американського математика Оскара Гольдмана.

Ідеал I у комутативному кільці A називається G-ідеалом якщо фактор-кільце A/I є G-областю. G-ідеали є простими але не обов'язково максимальними.

Еквівалентні означення

Область цілісності $A$ є G-областю якщо і тільки якщо для неї виконуються еквівалентні умови:

• Його поле часток є простим розширенням області $A$
• Його поле часток є скінченним розширенням області $A$
• Перетин його ненульових простих ідеалів є ненульовим
• Існує елемент $y\in A$ такий, що для кожного ненульового ідеалу $I$, $y^{n}\in I$ для деякого $n$.

Дані характеристики G-області є еквівалентними. Справді з першої властивості тривіально випливає друга. Якщо натомість $K=A[x_{1}/y_{1},\ldots ,x_{n}/y_{n}]$, то позначивши $y=y_{1},\ldots ,y_{n}$ також $K=A[1/y]$ і розширення є простим.

Якщо тепер $K=A[1/y]$ то для будь-якого простого ідеалу ${\mathfrak {p}}$ у $A$ і ненульового елемента $x\in {\mathfrak {p}}$ у полі $K$ виконується рівність $x^{-1}=zy^{-n}$ для деяких $z\in A,\;n\in \mathbb {N}$. Тоді $y^{n}=zx\in {\mathfrak {p}}$, тому $y\in {\mathfrak {p}}$. Тобто $y$ належить перетину усіх простих ідеалів. Тобто з першої характеристики випливає третя.

Якщо при цьому усі степені $y$ не належать деякому ненульовому ідеалу $I$, то згідно теореми віддільності у статті Простий ідеал існує також простий ідеал якому не належать усі степені $y$. Тобто з третьої характеристики випливає четверта.

Нехай тепер виконується четверта властивість і $x\in A$ — довільний ненульовий елемент. Тоді головний ідеал $(x)$ містить деякий степінь елемента $y$. Тобто для деяких $z\in A,\;n\in \mathbb {N}$ виконується рівність $y^{n}=xz$ і тому у полі часток $x^{-1}=zy^{-n}$. Зважаючи на довільність вибору елемента $x$ отримуємо, що з четвертої властивості випливає перша.

Приклади

• Будь-яке поле є G-областю.
• Кільце головних ідеалів є G-областю тоді і тільки тоді коли в ній є скінченна кількість простих елементів (з точністю до множення на оборотні елементи).
• Якщо $A$ є областю цілісності то кільце многочленів $A[x]$ не є G-областю.

Нехай $K$ — поле часток кільця $A$. Якщо $A[x]$ є G-областю, то G-областю є також $K[x]$. Кільце $K[x]$ є кільцем головних ідеалів. Тому достатньо довести, що у $K[x]$ є нескінченна кількість простих елементів. Припустимо, що $p_{1},\ldots ,p_{n}$ — усі незвідні многочлени зі старшим коефіцієнтом 1. Тоді многочлен $q=p_{1}\cdot \ldots p_{n}+1$ не ділиться на жоден із незвідних многочленів, що приводить до суперечності. Тому множина має бути нескінченною і $A[x]$ не може бути G-областю.

Властивості

• Радикал ідеалу  I є перетином всіх G-ідеалів, що містять I.

Кожен елемент радикала належить усім простим ідеалам, що містять I, зокрема і всім G-ідеалам, що містять I. Навпаки якщо елемент $x$ не належить радикалу ідеалу, то максимальний елемент множини ідеалів, що містять I і не перетинаються із мультиплікативною системою $x^{n}$ буде деяким простим ідеалом ${\mathfrak {p}}$. Образ елемента $x$ у фактор-кільці $A/{\mathfrak {p}}$ належатиме всім простим ідеалам (зважаючи на максимальність ${\mathfrak {p}}$ серед простих ідеалів, що не містять $x$), а тому $A/{\mathfrak {p}}$ є G-областю і ${\mathfrak {p}}$ — G-ідеалом.

• Якщо область цілісності A із полем часток K є G-областю то будь-яке кільце R таке що $A\subset R\subset K$ теж є G-областю.
• Кожен максимальний ідеал є G-ідеалом, оскільки фактор-кільце по максимальному ідеалу є полем. G-ідеали є єдиними максимальними ідеалами у кільці Джекобсона, і навпаки кільце є кільцем Джекобсона якщо всі максимальні ідеали є G-ідеалами.
• Якщо $B\supset A$, є розширенням областей і $A$ є G-областю, то $B$ є алгебричним над $R$ якщо і тільки якщо кожне кільце R таке що $A\subset R\subset K$ є G-областю.
• Якщо $A$ є областю цілісності і кільце $A[u]$ є G-областю то $A$ теж є G-областю, а елемент $u$ — алгебричний над $A$.
• Область цілісності $A$ є G-областю тоді і тільки тоді коли у кільці многочленів $A[x]$ існує максимальний ідеал ${\mathfrak {m}}$ для якого $A\cup {\mathfrak {m}}=\emptyset$.
• Нетерівська область цілісності є G-областю якщо і тільки якщо кожен її простий ідеал є максимальним і вона має скінченну кількість максимальних ідеалів (чи, еквівалентно, простих ідеалів).

Див. також

• Кільце Джекобсона

Література

• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (вид. Revised), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42454-5, MR 0345945
• Picavet, Gabriel (1999), About GCD domains, у Dobbs, David E. (ред.), Advances in commutative ring theory. Proceedings of the 3rd international conference, Fez, Morocco, Lect. Notes Pure Appl. Math., т. 205, New York, NY: Marcel Dekker, с. 501—519, ISBN 0824771478, Zbl 0982.13012