Максимальні та мінімальні елементи

У математиці, а саме в теорії порядку, для частково впорядкованої множини (P,≤)

максимальним елементом називається такий елемент $m \in P,$ для якого справедливо:

$\forall x \in P: (m \le x \; \Rightarrow \; x = m)$

мінімальним елементом називається такий елемент $m \in P,$ для якого справедливо:

$\forall x \in P: (x \le m \; \Rightarrow \; x = m)$

Максимальні та мінімальні елементи в частково впорядкованих множинах можуть існувати, а можуть і не існувати, їх може бути кілька, як показують наведені нижче приклади:

Приклад 1:

(R,≤) - множина дійсних чисел. У цій множині немає ні максимального, ні мінімального елементів.

Приклад 2:

В множині [0;1] Є максимальний елемент a=1, та мінімальний елемент b=0.

В множині (0;1] Є максимальний елемент, але немає мінімального.

В множині [0;1) Є мінімальний елемент, але немає максимального.

Властивості

• Максимального або мінімального елементів може не існувати. Якщо ж вони існують, то можуть бути не єдиними.
• Якщо існує найбільший елемент, то він є єдиним максимальним елементом.
• Якщо існує найменший елемент, то він є єдиним мінімальним елементом.

Див. також

• Найбільший та найменший елемент
• Верхня та нижня межа

Джерела

• ван дер Варден Б.Л. (1975). Алгебра. Москва: Наука. с. 623. ISBN 5-8114-0552-9.