Голоморфно опукла оболонка

У математиці, зокрема у комплексному аналізі, голоморфно опуклою оболонкою даної компактної множини у n-вимірному комплексному просторі $\mathbb {C} ^{n}$ є аналогом опуклої оболонки де замість лінійних функцій беруться голоморфні.

Означення

Нехай $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ — область (відкрита і зв'язана множина) або $n$ вимірний комплексний многовид. Нехай ${\mathcal {O}}(G)$ позначає множину голоморфних функцій на $G.$ Для підмножини $K\subset G$, голоморфно опуклою оболонкою $K$ є

${\hat {K}}_{G}:=\left\{z\in G\left||f(z)|\leqslant \sup _{w\in K}|f(w)|{\mbox{ for all }}f\in {\mathcal {O}}(G)\right.\right\}.$

Якщо замість ${\mathcal {O}}(G)$ взяти деяку довільну сім'ю функцій $F$, то подібним чином задана множина називається F-опуклою оболонкою. Зокрема для випадку лінійних функцій на $\mathbb {C} ^{n}$ одержується стандартна опукла оболонка. Ще одним важливим прикладом є коли $F$ є множиною поліноміальних функцій на G. Тоді ця оболонка називається поліноміально опуклою оболонкою. Поліноміально опукла оболонка містить голоморфно опуклу оболонку.

Область $G$ називається голоморфно опуклою якщо для кожної компактної підмножини $K\subset G$ замикання голоморфно опуклої оболонки ${\hat {K}}_{G}$ у $\mathbb {C} ^{n}$ теж є компактною підмножиною у $G$. Мотивацією для даного означення є випадок звичайних опуклих множин. У цьому випадку відкрита зв'язана підмножина $\mathbb {R} ^{n}$ чи $\mathbb {C} ^{n}$ є опуклою тоді і тільки тоді, коли замикання опуклої оболонки будь-якої її компактної підмножини теж є її компактною підмножиною.

Аналогічно вводиться поняття F-голоморфно опуклої області для деякої сім'ї функцій $F.$

Приклади

• Кожна опукла область $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ є також голоморфно опуклою.

Якщо $K\subset G$ і $z\in G\setminus {\bar {K}}_{G},$ де ${\bar {K}}_{G}$ — опукла оболонка $K$ у $G,$ то існує комплексна лінійна функція $l:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ для якої $|l(z)|>\sup _{w\in K}|l(w)|.$ Але лінійні функції є голоморфними на $G,$ а тому також $z\not \in {\hat {K}}_{G}.$ Тобто голоморфно опукла оболонка є підмножиною опуклої оболонки і тому якщо замикання ${\bar {K}}_{G}$ є компактною підмножиною $G,$ це тим більше є справедливим для замикання ${\hat {K}}_{G}.$

• Будь-яка область $G\subset \mathbb {C}$ є голоморфно опуклою.

Нехай $K\subset G$ — компактна підмножина. Вона є обмеженою і за вдастивостями голоморфно опуклої оболонки ${\hat {K}}_{G}$ теж є обмеженою. Позначимо її замикання у $\mathbb {C}$ як $K_{1}.$ Тоді $K_{1}$ є компактною множиною і потрібно довести, що $K_{1}\subset G.$ Припустимо, що $z_{0}\in K_{1}\setminus G.$ Тоді $z_{0}\in \partial K_{1}\cap \partial G$ і функція $f(z)=1/(z-z_{0})$ є голоморфною у $G.$ Існує послідовність $z_{i}\in {\hat {K}}_{G},$ що прямує до $z_{0}.$ Із означення голоморфно опуклої оболонки $|f(z_{i})|\leqslant \sup _{w\in K}|f(w)|<\infty ,$ оскільки $K$ — компактна підмножина. Але це неможливо оскільки очевидно $f(z_{i})=1/(z_{i}-z_{0})$ є необмеженою послідовністю.

Властивості

• $K\subset {\hat {K}}_{G}.$
• ${\hat {K}}_{G}$ є замкнутою підмножиною у $G$ (але не обов'язково у$\mathbb {C} ^{n}$).
• ${\hat {({\hat {K}}_{G})}}_{G}={\hat {K}}_{G}.$
• Якщо $K_{1}\subset K_{2}\subset G,$ то ${\hat {K_{1}}}_{G}\subset {\hat {K_{2}}}_{G}.$
• Якщо $K$ є обмеженою множиною, то ${\hat {K}}_{G}$ теж є обмеженою.
• Область $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ є голоморфно опуклою якщо і тільки якщо для кожної нескінченної множини $D\subset G,$ що не має граничних точок у $G$ існує функція $f\in {\mathcal {O}}(G),$ що є необмеженою на множині $D.$
• Область $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ є голоморфно опуклою якщо і тільки якщо вона є областю голоморфності (теорема Картана — Тюллена).

Див. також

• Голоморфна функція
• Опукла оболонка

Література

• Lars Hörmander. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Publishing Company, New York, New York, 1973.
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.