Група Кліфорда

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У математиці групою Кліфорда або групою Ліпшиця для невиродженої квадратичної форми на векторному просторі над деяким полем називається деяка підгрупа групи оборотних елементів алгебри Кліфорда для цих простору і квадратичної форми.

Означення

[ред. | ред. код]

Нехай K є деяким полем, Vскінченновимірний векторний простір над K,Q — невироджена квадратична форма над V і φ — симетрична білінійна форма асоційована з Q. Нехай також позначає алгебру Кліфорда для відповідного квадратичного простору і — групу оборотних елементів цієї алгебри.

Лінійне перетворення простору V, що переводить вектор v у -v продовжується до перетворення на алгебрі Кліффорда, що називається також головною інволюцією алгебри.

Для можна ввести лінійне відображення задане як

Якщо є анізотропним елементом (тобто ), то він є оборотним елементом алгебри Кліффорда, і . Тоді Якщо ж вектор є ортогональним до , то для добутку Кліффорда і Тобто у цьому випадку звуження на V є відбиттям щодо гіперплощини перпендикулярної до . Зокрема підпростір V алгебри Кліфорда є інваріантним щодо . Елементи групи Кліфорда узагальнюють цю властивість.

Група Кліфорда є за означенням множиною оборотних елементів алгебри Кліфорда для яких

, для всіх

Спеціальна група Кліфорда (позначається або ) є підгрупою групи Кліфорда,елементи якої належать парній частині градації алгебри Кліфорда.

Ця формула також задає дію групи Кліфорда на векторному просторі V, яка є лінійною і зберігає норму Q і таким чином задається гомоморфізм групи Кліфорда у ортогональну групу для відповідної квадратичної форми.

Властивості

[ред. | ред. код]

Нехай V є скінченновимірним векторним простором із невиродженою білінійною формою, відповідною алгеброю Кліфорда і групою та спеціальною групою Кліфорда.

  • Якщо елемент то і
  • Якщо розглядати спінорну норму на групі Кліфорда задану як то для
  • тобто множині ненульових елементів поля K. Також ця множина буде ядром гомоморфізму, якщо його розглядати тільки на спеціальній алгебрі Кліффорда. Зокрема спінорна норма є гомоморфізмом групи Кліфорда у групу K*.
  • Образом групи Кліфорда при відображенні є ортогональна група, образом спеціальної групи Кліфорда при відображенні є спеціальна ортогональна група.
Для групи Кліфорда це випливає із мультиплікативності спінорної норми і тих фактів, що для спінорна норма є рівною і для всіх також Тоді, якщо то Тобто є ортогональним відображенням. Оскільки всі відбиття для анізотропних векторів належать і згідно теореми Картана — Д'єдонне такі відображення породжують ортогональну групу, то є сюр'єктивним.
  • Група Кліфорда породжується множиною анізотропних елементів простору V. Спеціальна група Кліфорда є підгрупою добутків парної кількості анізотропних елементів простору V.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Garling, D. J. H. (2011), Clifford algebras. An introduction, London Mathematical Society Student Texts, т. 78, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-09638-7, Zbl 1235.15025