Група Гейзенберга
У математиці група Гейзенберга (названа на честь Вернера Гейзенберга) — група верхньотрикутних матриць розмірності вигляду
де операція множення визначена як множення матриць. Елементи , і належать довільному комутативному кільцю з одиницею, в якості якого часто обирають кільце дійсних чисел (в результаті отримують неперервну групу Гейзенберга) або ж кільце цілих чисел (в результаті отримують дискретну групу Гейзенберга).
Неперервна група Гейзенберга з'являється в описі одновимірних систем квантової механіки, особливо в контексті теореми Стоуна–фон Неймана[en]. У загальному випадку групи Гейзенберга можна розглядати у зв'язку з -вимірними системами або ж із довільними симплектичними векторними полями.
У тривимірному випадку добуток двох матриць Гейзенберга визначається як
Як можна побачити з члена , ця група неабелева[en].
Нейтральним елементом (одиницею) групи Гейзенберга є одинична матриця, а обернений визначається наступним чином:
Ця група є підгрупою 2-вимірної афінної групи :
дія якої на вектор відповідає афінному перетворенню
Є кілька яскравих прикладів тривимірного випадку.
Якщо , , — дійсні числа (в кільці ), то маємо неперервну групу Гейзенберга . Це нільпотентна дійсна група Лі розмірності 3.
Додатково до представлення дійсними матрицями, неперервна група Гейзенберга має також декілька різних представлень у термінах функціональних просторів. Згідно з теоремою Стоуна–фон Неймана[en], існує єдине, з точністю до ізоморфізму, незвідне унітарне представлення групи , у якому його центр діє за допомогою заданого нетривіального характеру. Це представлення має декілька важливих застосувань чи моделей. Так, у моделі Шрьодінгера, група Гейзенберга діє на просторі квадратично інтегровних[en] функцій. У тета-представленні[en] вона діє на просторі голоморфних функцій верхньої півплощини; воно назване так на честь зв'язку з тета-функціями.
Якщо , , — цілі числа (в кільці ), то маємо дискретну групу Гейзенберга . Це неабелева[en] нільпотентна група з двома генераторами
і
і зі співвідношеннями
де
є генератором центра групи . (Відмітимо, що обернені до матриць , і утворюються заміною над діагоналлю на ).
Згідно з теоремою Громова (в англомовній літературі — теорема Басса), у цієї групи поліноміальна швидкість зростання порядку 4. Можна генерувати будь-які елементи наступним чином:
Якщо , , з для довільного непарного простого , то отримаємо групу Гейзенберга за модулем . Це група порядку із генераторами , та співвідношеннями:
Аналоги групи Гейзенберга над скінченними полями простого непарного порядку називаються додатковою спеціальною групою[en] або ж, більш точно, додатковою спеціальною групою степеня . Узагальнюючи, якщо похідна підгрупа групи міститься в центрі групи , тоді відображення є кососиметричним білінійним оператором на абелівських групах.
Однак, умова, щоб була скінченним векторним простором, вимагає, аби підгрупа Фраттіні групи належала центру групи. А також умова, аби був одновимірним векторним простором над вимагає, щоб порядок центра дорівнював . Звідки випливає, що якщо група неабелева, то — додаткова спеціальна група. Якщо ж група — додаткова спеціальна група, але не степеня , тоді загальна конструкція при застосуванні до симплектичного векторного простору не визначає груповий ізоморфізм у .
Група Гейзенберга за модулем 2 має порядок 8 й ізоморфна діедральній групі (група симетрій квадрата). Якщо
і
тоді
і
Елементи і відповідають віддзеркаленням (з кутом між ними, що дорівнює ), у той час, як та відповідають поворотам на . Інші віддзеркалення — це і , а поворот на можна представити як .
- Канонічне комутаційне співвідношення
- Перетворення Вігнера-Фейля[en]
- Теорема Стоуна-фон Неймана[en]
- Проективне представлення[en]
- Binz, Ernst; Pods, Sonja (2008). Geometry of Heisenberg Groups. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4495-3.
- Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Bibcode:2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
- Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics. Т. 222 (вид. second). Springer. ISBN 978-3319134666.
- Howe, Roger (1980). On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis. Bulletin of the American Mathematical Society. 3 (2): 821—843. doi:10.1090/s0273-0979-1980-14825-9. MR 0578375.
- Kirillov, Alexandre A. (2004). Ch. 2: "Representations and Orbits of the Heisenberg Group. Lectures on the Orbit Method. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3530-0.
- Mackey, George (1976). The theory of Unitary Group Representations. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 978-0226500522.
- Groupprops, The Group Properties Wiki Unitriangular matrix group UT(3,p)