Закон виключеного третього

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Формула

Закон виключеного третього (поширена лат. назва tertium non datur — «третього не дано») — закон класичної логіки, який полягає в тому, що з двох висловлювань — «А» чи «не А» — одне обов'язково є істинним, тобто два судження, одне з яких є запереченням іншого, не можуть бути одночасно хибними або одночасно істинними.

Закон виключеного третього є одним з основоположних принципів «класичної математики».

З інтуїцистської (і, зокрема, конструктивістської) точки зору, встановлення істинності висловлювання виду «А чи не А» означає або (а) встановлення істинності, або (б) встановлення істинності його заперечення . Оскільки, взагалі кажучи, не існує загального методу, що дозволяє для будь-якого висловлювання за кінцеве число кроків встановити його істинність або істинність його заперечення, закон виключення третього не повинен застосовуватися в рамках інтуїционістського і конструктивного напрямків в математиці як аксіома.

Формулювання[ред.ред. код]

Закон формулюється так: з двох суперечних суджень про одне і те саме — одне обов'язково істинне, друге хибне; третього бути не може. Людина може бути або доброю, або недоброю, третє виключається. Вперше цей закон сформулював Аристотель. В математичній логіці закон виключеного третього виражається формулою: де  — знак диз'юнкції,  — знак заперечення. Керуючись даною формулою, можна робити правильні висновки про хибність одного судження на підставі знання про істинність суперечного йому другого і навпаки. Слід підкреслити, що цей закон, на відміну від закону суперечності, не передбачає жодного третього висловлювання, яке могло би зайняти середнє положення і бути істинним. Так, неможливо уявити в наведеному нами прикладі, щоб існувало якесь судження, щоб для нашого прикладу людина одночасно була б доброю або недоброю.

Інші формулювання[ред.ред. код]

Подібний сенс мають інші логічні закони, багато з яких склалися історично. Зокрема, закон подвійного заперечення і закон Пірса еквівалентні закону виключеного третього. Це означає, що розширення системи аксіом інтуїціонистської логіки будь-яким з цих трьох законів у будь-якому випадку призводить до класичній логіці. І все ж, в загальному випадку, існують логіки, в яких всі три закони нееквівалентні[1].

Історія[ред.ред. код]

Аристотель сформулював закон логіки — закон виключеного третього: «однаковим чином нічого не може бути посередині між двома суперечливими твердженнями, але про один суб'єкт кожен окремий предикат необхідно або заперечувати, або стверджувати». «Закон виключеного третього — це вимога до процесу міркування, з якої випливає, що з двох суперечливих тверджень одне буде обов'язково істинним, а друге буде обов'язково хибним — третього не може бути». Суперечливими називаються твердження, в яких за конкретним предметом думки якась ознака стверджується і тут же заперечується.

Але, в той же час Аристотель висував сумніви, щодо тверджень які використовуються у майбутньому часі не можна застосовувати закон виключеного третього. Наприклад візьмемо два твердження, такі як «Завтра відбудеться бій», та «Завтра не відбудеться бій». Філософ міркував так: «у даний час немає причини ні для того, щоб ця подія відбулася, ні для того, щоб не відбулася». З цього міркування можна зробити висновок, що закон виключеного третього можна застосовувати лише до тверджень які були вжиті у минулому, або вживаються теперішньому часі.

Приклади[ред.ред. код]

Припустимо, що P являє собою твердження «Сократ смертний». Тоді закон виключення третього для P прийме вигляд: «Сократ смертний або Сократ безсмертний», звідки ясно, що закон відсікає все інші варіанти, при яких Сократ і не смертний і не безсмертний. Останнє — це і є те саме «третє», яке виключається. Набагато більш тонкий приклад застосування закону виключеного третього, який добре демонструє, чому він не є прийнятним з точки зору интуїціонизму, полягає в наступному. Припустимо, що ми хочемо довести теорему, що існують ірраціональні числа a и b, такі що раціонально. Відомо, що ірраціональне число. Розглянемо . Якщо дане число раціонально, то теорема доведена. Інакше візьмемо и . Тоді

тобто раціональне число. За законом виключеного третього інших варіантів бути не може. Тому, теорема в загальному випадку доведена. Причому доказ дуже простий і елементарний. З іншого боку, якщо взяти інтуїціонистську точку зору і відмовитися від закону виключеного третього, теорема хоча і може бути доведена, але доказ її стає виключно складним.

Ще один приклад. Припустимо ми маємо два судження: «Обвинувачуваний у момент здійснення злочину був осудним» та «Обвинувачуваний у момент здійснення злочину не був осудним» — ми можемо запевняти, що одне з них так або інакше є істинним, тоді друге неодмінно буде хибним. Якщо буде встановлено, що істинним є перше судження, то друге буде обов'язково хибним, а якщо істинним визнане друге судження, то перше буде неодмінно хибним, третє у цьому випадку виключається.

Застосування[ред.ред. код]

Застосування закону виключеного третього як вихідного принципу логічної системи перетворює її на двозначну логіку. В багатозначних системах логіки (див. Багатозначна логіка) цей закон місця не має.

Критика[ред.ред. код]

Багато сучасних логічних систем замінюють закон виключеного третього на концепцію «заперечення як відмова». Замість припущення, що твердження або є істинним або хибним, припускають, що твердження є або істинним, або не можна довести істинність. Ці два дихотомії відрізняються тільки в логічних системах, які не є повними. Принцип заперечення як провал широко використовується у логічному програмуванні. У цій системі, програміст може стверджувати закон виключеного третього, як істинний насправді, але це не вбудовано апріорі в цих системах.

Математики, такі як Ян Брауер та Аренд Гейтінг також оскаржували корисність закону виключеного третього в контексті сучасної математики.[2]

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Zena M. Ariola and Hugo Herbelin. Minimal classical logic and control operators. In Thirtieth International Colloquium on Automata, Languages and Programming, ICALP'03, Eindhoven, The Netherlands, June 30 — July 4, 2003, volume 2719 of Lecture Notes in Computer Science, pages 871–885. Springer-Verlag, 2003.[1]
  2. «Proof and Knowledge in Mathematics» by Michael Detlefsen