Теорема Джекобсона про щільність

В абстрактній алгебрі теорема Джекобсона про щільність є важливим результатом про властивості некомутативних кілець та модулів над ними. Теорема має застосування у теорії представлень груп та загальній теорії груп. Названа на честь американського математика Натана Джекобсона.

Необхідні означення

Нехай $R$ є кільцем з одиницею і $M$ — R-модуль. Такий модуль називається простим, коли у нього немає нетривіальних підмодулів, тобто єдиними його підмодулями є $\{0\}$ і $M$. Модуль називається точним, якщо $rM=\{0\}$ виконується лише для $r=0$.

Позначимо $\mathrm {End} _{R}(M)$ множину R-ендоморфізмів модуля $M$. На $M$ можна ввести множення кільця $D=\mathrm {End} _{R}(M)$ як

$\alpha \cdot m:=\alpha (m)$   де   $\alpha \in \mathrm {End} _{R}(M),m\in M$

і тоді $M$ буде $\mathrm {End} _{R}(M)$-модулем на якому можна розглядати $\mathrm {End} _{R}(M)$-лінійні відображення.

$R$-лінійність ендоморфізмів $\alpha \in \mathrm {End} _{R}(M)$ означає, що

$\alpha (rm)=r\alpha (m)$   для всіх   $r\in R,m\in M,\alpha \in \mathrm {End} _{R}(M)$.

Позначивши $\ell _{r}$ відображення лівого множення елементів $M$ на елемент $r\in R$, з попереднього рівняння одержуємо, що кожна $\ell _{r}$ є $\mathrm {End} _{R}(M)$-лінійним відображенням. Загалом натомість $\ell _{r}$ не є $R$-лінійним якщо $R$ не є комутативним кільцем.

Теорема Джекобсона про щільність

Твердження теореми

Нехай $R$ є кільцем з одиницею (загалом некомутативним), $M$ — простий точний лівий $R$-модуль і $\varphi$ є $\mathrm {End} _{R}(M)$-лінійним відображенням.

Тоді для кожної скінченної множини елементів $m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$, що є лінійно незалежними над $D=\mathrm {End} _{R}(M)$ існує такий елемент $r\in R$, що $\varphi (m_{i})=rm_{i}$ для всіх $i=1,\ldots ,n$.

Іншими словами для D-лінійно незалежних елементів $m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$ і довільних елементів $y_{1},\ldots ,y_{n}\in M$ існує такий елемент $r\in R$, що $y_{i}=rm_{i}.$

Доведення теореми

Нехай $X\subset M$ — скінченна підмножина і $I=\mathrm {ann} _{R}(X)$ — анулятор підмножини. Нехай елемент $m\in M$, такий що $Im=0$. Тоді $m$ належить $D$-лінійній оболонці множини $X.$

Справді якщо $X=\emptyset$, то $I=R$ і $m=0$, тож $m$ належить лінійній оболонці порожньої множини. Нехай тепер $X\neq \emptyset$ і доведення можна здійснити індукцією по $|X|$.

Нехай $x\in X$ і позначимо $Y=X-\{x\}$. Нехай $J=\mathrm {ann} _{R}(Y)$. Зауважимо що $I=J\cap \mathrm {ann} _{R}(x)$. Якщо $J\subseteq \mathrm {ann} _{R}(x)$, тоді $J=I$ і тому $Jm=0$. Згідно припущення індукції у цьому випадку $m$ належить $D$-лінійній оболонці множини $Y$ і відповідно і $D$-лінійній оболонці множини $X$. Тому надалі можна вважати що $Jx\neq 0$. Множина $J\subset R$ є лівим ідеалом і тому $Jx$ є $R$-підмодулем у $M$. Оскільки $M$ є простим модулем, то $Jx=M$.

Тепер введемо відображення $\alpha :M\to M$. Оскільки $Jx=M$, то кожен елемент у $M$ рівний $jx$ для деякого $j\in J$. Тоді візьмемо $\alpha (jx)=jm$. Дане означення є несуперечливим адже якщо $jx=kx$ для $j,k\in J$, тоді $(j-k)x=0$ і звідси $j-k\in J\cap \mathrm {ann} _{R}(x)=I$. Тому згідно умови також$(j-k)m=0$.

Далі доведемо, що $\alpha \in D$. Це відображення є очевидно адитивним, і тому потрібно перевірити, що воно є $R$-ендоморфізмом. Нехай $r\in R$ і $z\in M$ і запишемо $z=jx$ для деякого $j\in J$. Оскільки $rj\in J$, то $\alpha (rz)=\alpha (rjx)=rjm=r\alpha (jx)=r\alpha (z)$. Тому $\alpha \in \mathrm {End} _{R}(M)=D$. Для завершення цієї частини доведення достатньо показати, що $m-\alpha (x)$ належить $D$-лінійній оболонці множини $Y$. Згідно припущення індукції, це твердження рівнозначне тому, що $J(m-\alpha x)=0$. Нехай $j\in J$ , тоді $j(m-\alpha x)=jm-j\alpha x=j\alpha x-\alpha (jx)=0$, що й треба було довести.

Повертаючись тепер до загального результату, доведення будемо здійснювати індукцією по $|X|$. Нехай, як і вище, $x\in X$ і позначимо $Y=X-\{x\}$. Згідно припущення індукції існує такий елемент $s\in R$, що $\varphi (y)=sy,\;\forall y\in Y$. Позначимо $I=\mathrm {ann} _{R}(Y)$. Для всіх $i\in I$ елемент $r=s+i$ задовольняє рівності $\varphi (y)=ry,\;\forall y\in Y$. Тому для завершення доведення потрібно підібрати $i\in I$ так щоб також $\varphi (x)=rx$.

Але оскільки $x$ є $D$-лінійно незалежним від $Y$ то з попереднього $Ix\neq 0$. Як і в доведенні вище звідси $Ix=M$, тому можна вибрати $i\in I$, такий що $ix=\varphi (x)-sx$, що завершує теорему Джекобсона про щільність.

Коментарі

Зважаючи на простоту лівого $R$-модуля $M$ кільце $D=\mathrm {End} _{R}(M)$ згідно леми Шура є тілом. Для всіх $m\in M$ і $\varphi \in \mathrm {End} _{D}(M)$ позначимо

$B(m,\varphi ):=\{\psi \in \mathrm {End} _{D}(M)\mid \varphi (m)=\psi (m)\}$.

Множини $B(m,\varphi )$ утворюють підбазу топології $\mathrm {End} _{D}(M)$, яка називається скінченною топологією.

Зважаючи на точність модуля оператор $\ell _{r}\in \mathrm {End} _{D}(M)$ можна ідентифікувати з елементом $r\in R$. Тоді можна записати $R\subset \mathrm {End} _{D}(M)$ і як наслідок теореми Джекобсона підмножина $R\subset \mathrm {End} _{D}(M)$ буде щільною у скінченній топології., що пояснює назву теорема про щільність.

Справді деяка підмножина у топологічному просторі є щільною тоді і тільки тоді коли перетин цієї множини і непустого перетину скінченної кількості множин із підбази теж є непустою підмножиною. Але $\bigcap _{i=1}^{n}B(m_{i},\varphi _{i})$ є підмножиною відображень $\psi \in \mathrm {End} _{D}(M)$ для яких $\varphi _{i}(m_{i})=\psi (m_{i})$ для всіх $i=1,\ldots ,n$. З теореми Джекобсона випливає існування $r\in R$ для якого виконуються ці рівності і тоді $r\in \bigcap _{i=1}^{n}B(m_{i},\varphi _{i}).$

Якщо $M$ є скінченновимірним векторним простором над $D$ і $m_{1},\ldots ,m_{n}\in M$ є його базисом, тоді $\mathrm {End} _{D}(M)\cong M_{n}(D)$ і в базисі $m_{i}$ згідно теореми Джекобсона $R\cong M_{n}(D)$.

Примітивні кільця

Кільце $R$ з одиницею називається примітивним, якщо для нього існує точний, простий модуль. Згідно теореми Джекобсона про щільність, для примітивного кільця $R$ існує тіло $D$ і $D$-модуль $M$ такий, що $R$ є щільною підмножиною у $\mathrm {End} _{D}(M)$. За такий модуль можна взяти точний простий модуль $M$, який існує за означенням і тоді теж взяти $D=\mathrm {End} _{R}(M)$.

Ця властивість характеризує примітивні кільця, адже якщо $R\subset \mathrm {End} _{D}(M)$ є щільним підкільцем для модуля $M$ над тілом $D$, то $M$ є точним простим $R$-модулем. Справді нульовий ендоморфізм є єдиним елементом $\mathrm {End} _{D}(M)$ який переводить модуль $M$ в нуль і оскільки $R$ є підмножиною $\mathrm {End} _{D}(M)$ то у цьому кільці може бути лише один елемент (а саме нульовий елемент) множення на який обнуляє модуль. Також оскільки $R$ є щільним підкільцем і для будь-яких $m,n\in M$ існує такий$\varphi \in \mathrm {End} _{D}(M)$, що $\varphi (m)=n$ то існує такий $r\in R$, що $rm=n$. Тобто завжди $Rm=M$ і єдиними підмодулями модуля $M$ є $\{0\}$ і $M$, тобто він є простим $R$-модулем.

Ця характеристика примітивних кілець є фактично альтернативною формою твердження теореми Джекобсона..

Теорема Бернсайда

Прикладом застосування теореми Джекобсона є теорема Бернсайда.

• Нехай $G$ — група і $\rho :G\rightarrow \mathrm {GL} (\mathbb {C} ^{n})$ незвідне n-вимірне представлення цієї групи у векторному просторі над полем комплексних чисел (або довільним іншим алгебрично замкнутим полем). Тоді існують такі елементи $g_{1},\ldots ,g_{n^{2}}\in G$, що $\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{n^{2}})$ є $\mathbb {C}$-лінійно незалежними. Інакше кажучи лінійною оболонкою образів представлення є простір всіх ендоморфізмів векторного простору.

Введемо групову алгебру $\mathbb {C} [G]$ (тобто множину $\mathbb {C}$-лінійних комбінацій з елементами групи $G$ з очевидними означеннями суми і добутку) і продовжимо відображення $\rho$ до гомоморфізму $\mathbb {C}$-алгебр ${\tilde {\rho }}:\mathbb {C} [G]\rightarrow \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})$. Позначимо $R={\tilde {\rho }}(\mathbb {C} [G])\subset \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})$. Тоді згідно означень $\mathbb {C} ^{n}$ є точним і простим $R$-модулем. Тоді $D=\mathrm {End} _{R}(M)$ є множиною лінійних операторів, що комутують з усіма елементами $R$, а отже із усіма елементами $\rho (G)$. Оскільки згідно умови представлення є незвідним, то згідно леми Шура $D$ є множиною скалярних відображень і може бути ідентифікованим з $\mathbb {C}$.

Згідно теореми Джекобсона таким чином $R=\mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})$, тобто $R$ є алгеброю всіх ендоморфізмів лінійного простору. Оскільки $R$ є лінійною оболонкою образів представлення групи, то серед цих образів можна вибрати базис простору $\mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n})$.

Див. також

• Лема Шура

Література

• Farb, Benson; Dennis, R. Keith (1993). Noncommutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Т. 144. Springer-Verlag. ISBN 978-0387940571. MR 1233388.
• I.N. Herstein (1968). Noncommutative rings (вид. 1st). The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-015-X.
• I. Martin Isaacs (1993). Algebra, a graduate course (вид. 1st). Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
• Jacobson, N. (1945), Structure theory of simple rings without finiteness assumptions, Trans. Amer. Math. Soc., 57: 228—245, doi:10.1090/s0002-9947-1945-0011680-8, ISSN 0002-9947, MR 0011680
• Robinson, Derek J. S. (1996). A Course in the Theory of Groups. Graduate Texts in Mathematics. Т. 80 (вид. 2nd). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94461-3. Zbl 0836.20001.
• Rowen, Louis H. (1988), Ring theory. Vol. I, Pure and Applied Mathematics, т. 127, Boston, MA: Academic Press Inc., с. xxiv+538, ISBN 0-12-599841-4, MR 0940245